京都大学 2002年度
文系数学 第4問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 三角関数、関数
- 解法
- 置換、増減表、場合分け
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 18〜20分
問題
0≦θ<360とし，aは定数とする．cos3θ∘−cos2θ∘+3cosθ∘−1=aを満たすθの値はいくつあるか．aの値によって分類せよ．
出典：京都大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問
方針
角度は度数法だが、x=cosθ∘ とおけば −1≦x≦1 上の3次関数の値域と解の個数の問題になる。三倍角・二倍角の公式で左辺を g(x)=4x3−2x2 に直し、g′(x)=4x(3x−1) から増減を調べる。最後に、各 x に対応する θ の個数は、−1<x<1 では2個、x=±1 では1個であることを掛け合わせる。
解答
x=cosθ∘ とおく。0≦θ<360 だから −1≦x≦1 である。
三倍角・二倍角の公式より cos3θ∘=4x3−3x,cos2θ∘=2x2−1 である。したがって左辺は (4x3−3x)−(2x2−1)+3x−1=4x3−2x2 である。 g(x)=4x3−2x2 とおくと、g′(x)=12x2−4x=4x(3x−1) である。よって g(x) は
[−1,0] で増加,[0,31] で減少,[31,1] で増加
する。また
g(−1)=−6,g(0)=0,g(31)=−272,g(1)=2
である。
したがって、方程式 g(x)=a の −1≦x≦1 における解の個数は、上の増減から決まる。ただし、x の解の個数をそのまま θ の個数にしてはいけない。−1<x<1 であれば 0≦θ<360 に対応する θ は2個あり、x=1 なら θ=0 の1個、x=−1 なら θ=180 の1個である。
これを合わせると、求める個数は
a の範囲a<−6a=−6−6<a<−272a=−272−272<a<0a=00<a<2a=22<aθ の個数012464210
である。
