京都大学 2000年度
文系数学 第4問

解答

(1)

$a=p+q,b=pq+p,c=pq+1$ であり、$p,q\geqq 2$ である。

まず $b-c=(pq+p)-(pq+1)=p-1>0$ である。また $c-a=(pq+1)-(p+q)=pq-p-q+1=(p-1)(q-1)>0$ である。したがって $a<c<b$ である。

三角形では、長い辺に向かい合う角ほど大きい。辺 $a,b,c$ はそれぞれ $\angle A,\angle B,\angle C$ の向かい側であるから $\angle A<\angle C<\angle B$ である。

(2)

(1)より $\angle A<\angle C<\angle B$ である。もし $\angle A=60^{\circ }$ なら、$\angle C$ と $\angle B$ はともに $60^{\circ }$ より大きくなり、内角和が $180^{\circ }$ を超えてしまう。もし $\angle B=60^{\circ }$ なら、$\angle A$ と $\angle C$ はともに $60^{\circ }$ より小さくなり、内角和が $180^{\circ }$ に届かない。したがって $\angle C=60^{\circ }$ でなければならない。

余弦定理を $C=60^{\circ }$ に対して用いると $c^2=a^2+b^2-2ab\cos 60^{\circ }=a^2+b^2-ab$ である。よって $a^2+b^2-ab-c^2=0$ である。ここに $a=p+q$、$b=pq+p$、$c=pq+1$ を代入すると $(p-1)(q+1)(p-q+1)=0$ となる。$p\geqq 2$、$q+1>0$ であるから $p-q+1=0$ すなわち $p=q-1$ である。

これを $a,b,c$ に代入すると $a=2q-1,b=q^2-1,c=q^2-q+1$ となる。$q\geqq 2$ なので $a=2q-1$ は1より大きい奇数であり、2のべき乗ではない。また $c=q(q-1)+1$ で、$q(q-1)$ は偶数だから $c$ も1より大きい奇数である。したがって $c$ も2のべき乗ではない。

よって2のべき乗である可能性があるのは $b=q^2-1=(q-1)(q+1)$ だけである。もし $q$ が偶数なら、$q^2-1$ は1より大きい奇数となり不可能である。したがって $q$ は奇数であり、$q-1$ と $q+1$ はともに偶数である。

積 $(q-1)(q+1)$ が2のべき乗であるためには、$q-1$ と $q+1$ がともに2のべき乗でなければならない。この2数の差は2である。差が2である2つの2のべき乗は $2,4$ に限られる。実際、$2^r$ と $2^s$ $(r<s)$ の差が2なら、$2^r(2^{s-r}-1)=2$ であり、$r=1$、$s-r=1$ となる。

したがって $q-1=2,q+1=4$ であり、$q=3,p=2$ である。よって $(a,b,c)=(p+q,pq+p,pq+1)=(5,8,7)$ である。