京都大学 2000年度
文系数学 第2問

解答

$d_k=x_{k+1}-x_k(k=1,2,\dots ,n-1)$ とおく。与えられた条件 $x_{k-1}-2x_k+x_{k+1}>0(2\leqq k\leqq n-1)$ は $(x_{k+1}-x_k)-(x_k-x_{k-1})>0$ すなわち $d_k>d_{k-1}(2\leqq k\leqq n-1)$ を意味する。したがって $d_1<d_2<\cdots <d_{n-1}$ である。

このことから、差 $d_k$ の符号の並びは、負のものが先に並び、その後に必要なら0が1つだけ現れ、最後に正のものが並ぶ形に限られる。実際、$d_i\geqq 0$ となった後で $d_j<0$ となることは、$d_i<d_j$ に反する。また狭義増加なので、$d_k=0$ となる添字は高々1つである。

差がすべて正なら $x_1<x_2<\cdots <x_n$ であり、最小値をとるのは $x_1$ だけである。差がすべて負なら $x_1>x_2>\cdots >x_n$ であり、最小値をとるのは $x_n$ だけである。

途中で符号が変わる場合を考える。ある $r$ について $d_1<\cdots <d_r<0<d_{r+1}<\cdots <d_{n-1}$ となるなら、列は $x_{r+1}$ まで減少し、その後増加する。したがって最小値をとるのは $x_{r+1}$ だけである。

一方、ある $r$ について $d_1<\cdots <d_{r-1}<0,d_r=0,0<d_{r+1}<\cdots <d_{n-1}$ となるなら、列は $x_r$ まで減少し、$x_{r+1}-x_r=d_r=0$ より $x_r=x_{r+1}$ で、その後増加する。したがって最小値をとるのは $x_r,x_{r+1}$ の2つだけである。$r=1$ や $r=n-1$ の端の場合も同じく、最小値をとる項は隣り合う2つである。

以上より、$x_l=m$ となる $l$ の個数は1または2である。

別解。2つの最小値が離れて存在すると仮定して矛盾を出してもよい。$i<j$ で $x_i=x_j=m$ かつ $j\geqq i+2$ とする。このとき $d_i+d_{i+1}+\cdots +d_{j-1}=x_j-x_i=0$ である。もし $d_i\geqq 0$ なら、$d_i<d_{i+1}<\cdots <d_{j-1}$ なので上の和は正となり矛盾する。よって $d_i<0$ であるが、その場合 $x_{i+1}=x_i+d_i<m$ となり、$m$ が最小値であることに反する。したがって、最小値をとる2つの添字があるとしても隣り合う場合に限られる。さらに $d_k=0$ は高々1つなので、最小値をとる添字は高々2つである。有限個の数列には最小値をとる添字が少なくとも1つあるから、個数は1または2である。