京都大学 1999年度後期・文系数学後期第5問解答・解説

問題

自然数 $a$ ， $b$ ， $c$ について，等式 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ が成り立ち，かつ $a$ ， $b$ は互いに素とする．このとき，次のことを証明せよ．

(1) $a$ が奇数ならば， $b$ は偶数であり，したがって $c$ は奇数である．

(2) $a$ が奇数のとき， $a + c = 2 d^{2}$ となる自然数 $d$ が存在する．

出典：京都大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第5問

(1) 平方数の4を法とする余りで偶奇を決める。(2) $c^{2} - a^{2} = b^{2}$ を半分ずつに因数分解し、互いに素な二数の積が平方数であることを使う。

$a$ が奇数なら

a^{2} \equiv 1 (mod 4) .

もし $b$ も奇数なら

c^{2} = a^{2} + b^{2} \equiv 2 (mod 4)

となるが、平方数の4での余りは0または1なので矛盾する。従って $b$ は偶数である。すると

c^{2} = a^{2} + b^{2} \equiv 1 (mod 4)

だから $c$ は奇数である。

$g cd (a, b) = 1$ かつ $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ より

g cd (a, c) = 1

である。実際、 $a, c$ の公約数は $c^{2} - a^{2} = b^{2}$ も割るため、 $a, b$ の公約数になる。

(1)より $a, c$ は奇数、 $b$ は偶数である。そこで

U = \frac{c + a}{2}, V = \frac{c - a}{2}

とおく。 $c > a > 0$ なので $U, V$ は自然数であり、

U V = \frac{c ^{2} - a ^{2}}{4} = (\frac{b}{2})^{2} .

また $U, V$ の公約数は $U + V = c$ と $U - V = a$ をともに割るので

g cd (U, V) = 1.

互いに素な二つの自然数の積が平方数なら、それぞれが平方数である。従ってある自然数 $d$ が存在して

U = d^{2} .

すなわち

a + c = 2 d^{2}

である。