京都大学 1999年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

$α$ ， $β$ が $α > 0^{\circ}$ ， $β > 0^{\circ}$ ， $α + β < 180^{\circ}$ かつ $sin^{2} α + sin^{2} β = sin^{2} (α + β)$ を満たすとき， $sin α + sin β$ の取りうる範囲を求めよ．

出典：京都大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

与式の差を積に直し、角が正であることから $cos (α + β) = 0$ を得る。その後 $sin α + cos α$ の範囲を求める。

解答

恒等式

sin^{2} (α + β) - sin^{2} α - sin^{2} β = 2 sin α sin β cos (α + β)

を用いる。仮定より左辺は0である。また

α > 0^{\circ}, β > 0^{\circ}, α + β < 18 0^{\circ}

だから $sin α > 0, sin β > 0$ である。従って

cos (α + β) = 0,

すなわち

α + β = 9 0^{\circ} .

よって $β = 9 0^{\circ} - α$ で、 $0^{\circ} < α < 9 0^{\circ}$ であるから

sin α + sin β = sin α + cos α = 2 sin (α + 4 5^{\circ}) .

この値は $α = 4 5^{\circ}$ のとき $2$ となる。一方、 $α \to 0^{\circ} + 0$ または $α \to 9 0^{\circ} - 0$ のとき1に近づくが、端点は許されないので1にはならない。

従って取りうる範囲は

1 < sin α + sin β ≦ 2

である。

京都大学 1999年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

京都大学 1999年度
後期・文系数学後期第2問