京都大学 1999年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

3次関数 $y = x^{3} + k x$ のグラフを考える．連立不等式 ${y > - x y < - 1$ が表す領域を $A$ とする． $A$ のどの点からも上の3次関数のグラフに接線が3本引けるための， $k$ についての必要十分条件を求めよ．

出典：京都大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

点 $(X, Y)$ を通る接線の接点を $t$ とし、 $t$ の三次方程式を作る。3本の接線が引ける条件を極大値・極小値の符号で表し、領域 $A$ の全点で成り立つ $k$ の範囲を求める。

曲線を

f (x) = x^{3} + k x

とする。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線は

y = (3 t^{2} + k) x - 2 t^{3}

である。従って点 $(X, Y)$ を通る接線の本数は

P (t) = 2 t^{3} - 3 X t^{2} + Y - k X = 0

の異なる実数解の個数に等しい。

領域 $A$ は

Y > - X, Y < - 1

であり、従って必ず $X > 1$ である。 $P^{'} (t) = 6 t (t - X)$ なので、 $X > 1$ のもとで $P$ は $t = 0$ で極大、 $t = X$ で極小となる。相異なる3実根をもつための必要十分条件は

P (0) > 0, P (X) < 0,

すなわち

0 < Y - k X < X^{3}

である。

これがすべての $X > 1, - X < Y < - 1$ で成り立つ条件を調べる。まず

Y - k X > 0

が全域で成り立つには、 $Y$ を $- X$ に近づけて考えることにより

- (k + 1) X ≧ 0,

すなわち

k ≦ - 1

が必要十分である。境界 $k = - 1$ でも $Y > - X$ なので不等号は厳密である。

次に

Y - k X < X^{3}

が全域で成り立つには、 $Y$ を $- 1$ に近づけて

- 1 - k X ≦ X^{3}

がすべての $X > 1$ で成り立てばよい。これは

k ≧ - (X^{2} + \frac{1}{X})

がすべての $X > 1$ で成り立つことと同値である。 $X^{2} + 1/ X$ は $X > 1$ で増加し、その下限は2だから

k ≧ - 2

である。 $k = - 2$ のときも $X > 1$ では $X^{3} - 2 X + 1 > 0$ なので問題ない。

以上より必要十分条件は

- 2 ≦ k ≦ - 1

である。