問題
点を中心とする円周の6等分点をとする．サイコロを3回振り，出た目が順に，，のときの得点を次のように定める．，，の中に同じものがあれば0点とする．，，がすべて異なるときは，円の中心が三角形の内部にあれば3点，辺上にあれば2点，外部にあれば1点とする．得点の期待値を求めよ．
出典：京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
同じ目が出た場合は得点0なので，3回の出目がすべて異なる場合だけを数える。円周の6等分点から3点を選ぶ unordered な組を20通りに分け，中心 が内部にある場合，辺上にある場合，外部にある場合を分類する。内部は1つおきに選ぶ2通り，辺上は対蹠点の組を含む12通り，残り6通りが外部である。最後に順序の6通りを掛けて，全事象 で割る。
解答
同じ目がある場合の得点は0である。したがって，3回の出目がすべて異なる場合だけを考えればよい。
まず，円周の6等分点から異なる3点を順序を無視して選ぶと 通りである。
中心 が三角形の内部にあるのは，選んだ3点が円周上で1つおきに並ぶ場合である。これは の2通りである。
中心 が辺上にあるのは，選んだ3点の中に対蹠点の組が含まれる場合である。対蹠点の組は の3通りであり，残り1点はその組以外の4点から選べる。したがって 通りである。
残りは 通りで，この場合は中心 は三角形の外部にある。
出目には順序があるので，各3点の組に対して順序は 通りある。よって期待値は
である。
別解。順序つきで直接数えてもよい。中心が内部にある順序つきの出方は 通り，辺上にある出方は 通り，外部にある出方は 通りである。したがって得点の総和は で，全事象は 通りだから期待値は である。