京都大学 1996年度文系数学第4問解答・解説

問題

正の実数 $a$ に対し，実数全体で定義される関数 $g (x)$ を $g (x) = \int_{- 2}^{2} ∣ x - t ∣ (t^{2} - a^{2}) d t$ で定める．このとき， $g (x)$ が最小値を持つような $a$ の範囲を求めよ．また $a$ がそのような範囲にあるとき， $g (x)$ の最小値を $a$ を用いて表せ．

出典：京都大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

絶対値を含む積分は，まず $x$ で微分して傾きを調べる。 $∣ x ∣ > 2$ では $∣ x - t ∣$ の符号が固定され， $g (x)$ は傾き $I = \int_{- 2}^{2} (t^{2} - a^{2}) d t$ または $- I$ の一次関数になる。無限遠で下に落ちないための条件から $I ≧ 0$ ，すなわち $0 < a ≦ 2/ 3$ を得る。範囲内では $g^{'} (x) = 2 x (x^{2} /3 - a^{2})$ を求め，最小点 $x = \pm 3 a$ を代入して最小値を出す。

解答

まず

I = \int_{- 2}^{2} (t^{2} - a^{2}) d t = [\frac{t ^{3}}{3} - a^{2} t]_{- 2}^{2} = \frac{16}{3} - 4 a^{2}

とおく。 $x > 2$ のときは $∣ x - t ∣ = x - t$ であるから， $g (x)$ は $x$ について傾き $I$ の一次関数である。 $x < - 2$ のときは $∣ x - t ∣ = t - x$ であるから，傾きは $- I$ である。したがって $I < 0$ なら， $x \to \infty$ または $x \to - \infty$ で $g (x)$ はいくらでも小さくなり，最小値をもたない。よって最小値をもつためには $I ≧ 0$ が必要である。これは $\frac{16}{3} - 4 a^{2} ≧ 0$ すなわち $0 < a ≦ \frac{2}{3}$ である。

以下，この条件を仮定する。 $- 2 < x < 2$ では，微分して $g^{'} (x) = \int_{- 2}^{x} (t^{2} - a^{2}) d t - \int_{x}^{2} (t^{2} - a^{2}) d t$ である。計算すると

g^{'} (x) = 2 \int_{- 2}^{x} (t^{2} - a^{2}) d t - I = 2 (\frac{x ^{3}}{3} - a^{2} x + \frac{8}{3} - 2 a^{2}) - (\frac{16}{3} - 4 a^{2}) = 2 x (\frac{x ^{2}}{3} - a^{2})

である。 $0 < a ≦ 2/ 3$ なら $3 a ≦ 2$ なので，臨界点 $x = \pm 3 a$ は区間 $[- 2, 2]$ に入る。 $g^{'} (x)$ の符号を見ると， $x = - 3 a$ と $x = 3 a$ で最小になり， $x = 0$ では最大になる。また $∣ x ∣ > 2$ では外側へ向かって下がらないので，これらが全体の最小点である。

最小値を求める。 $0 ≦ x ≦ 2$ では $g (x) = \int_{- 2}^{x} (x - t) (t^{2} - a^{2}) d t + \int_{x}^{2} (t - x) (t^{2} - a^{2}) d t$ であり，整理すると $g (x) = \frac{x ^{4}}{6} - a^{2} x^{2} - 4 a^{2} + 8$ である。したがって

g (3 a) = \frac{( 3 a ) ^{4}}{6} - a^{2} (3 a)^{2} - 4 a^{2} + 8 = \frac{9 a ^{4}}{6} - 3 a^{4} - 4 a^{2} + 8 = 8 - 4 a^{2} - \frac{3}{2} a^{4}

である。

よって， $g (x)$ が最小値をもつための $a$ の範囲は $0 < a ≦ \frac{2}{3}$ であり，そのときの最小値は $8 - 4 a^{2} - \frac{3}{2} a^{4}$ である。

京都大学 1996年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

京都大学 1996年度
文系数学第4問