京都大学 1996年度文系数学第2問解答・解説

問題

$0 < a ≦ b$ をみたす実数 $a$ ， $b$ に対し，数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ を $a_{1} = a$ ， $b_{1} = b$ ， $a_{n} = a_{n - 1} b_{n - 1}$ ， $b_{n} = \frac{a _{n - 1} + b _{n - 1}}{2}$ $(n ≧ 2)$ によって定める．

(1) すべての自然数 $n$ に対し， $a_{n} ≦ a_{n + 1} ≦ b_{n + 1} ≦ b_{n}$ が成り立つことを示せ．

(2) すべての自然数 $n$ に対し， $b_{n + 1} - a_{n + 1} ≦ \frac{1}{8 a _{n}} (b_{n} - a_{n})^{2}$ が成り立つことを示せ．

(3) $a = 100$ ， $b = 900$ のとき， $b_{n} - a_{n} < 4$ をみたす最小の $n$ を求めよ．

出典：京都大学 1996年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

相加平均と相乗平均の関係から， $a_{n} ≦ b_{n}$ が保たれること，さらに $a_{n} ≦ a_{n + 1} ≦ b_{n + 1} ≦ b_{n}$ が従う。(2)では差を ${(b_{n} - a_{n})}^{2} /2$ に直し，分母 $(b_{n} + a_{n})^{2}$ を $4 a_{n}$ 以上で評価する。(3)は第3項まで正確に計算し，まだ差が4以上であることを示したうえで，(2)の評価により第4項で4未満になることを確認する。

解答

(1)

まず $0 < a_{n} ≦ b_{n}$ と仮定する。このとき $a_{n + 1} = a_{n} b_{n}, b_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}$ である。 $a_{n} ≦ b_{n}$ だから $a_{n}^{2} ≦ a_{n} b_{n}$ より $a_{n} ≦ a_{n} b_{n} = a_{n + 1}$ である。また相加平均と相乗平均の関係から $a_{n + 1} = a_{n} b_{n} ≦ \frac{a _{n} + b _{n}}{2} = b_{n + 1}$ であり，さらに $b_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} ≦ b_{n}$ である。したがって $a_{n} ≦ a_{n + 1} ≦ b_{n + 1} ≦ b_{n}$ が成り立つ。初めに $0 < a_{1} = a ≦ b = b_{1}$ であるから，帰納法によりすべての自然数 $n$ で成り立つ。

(2)

定義より

b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} - a_{n} b_{n} = \frac{a _{n} + b _{n} - 2 a _{n} b _{n}}{2} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{2}

である。ここで $b_{n} - a_{n} = \frac{b _{n} - a _{n}}{b _{n} + a _{n}}$ だから $b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{2 ( b _{n} + a _{n} ) ^{2}}$ である。 $b_{n} ≧ a_{n} > 0$ より $b_{n} + a_{n} ≧ 2 a_{n}$ なので $2 (b_{n} + a_{n})^{2} ≧ 8 a_{n}$ である。したがって $b_{n + 1} - a_{n + 1} ≦ \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{8 a _{n}}$ が成り立つ。

(3)

$a = 100$ ， $b = 900$ のとき $a_{1} = 100, b_{1} = 900$ である。よって $a_{2} = 100 \cdot 900 = 300, b_{2} = \frac{100 + 900}{2} = 500$ である。さらに $a_{3} = 300 \cdot 500 = 10015, b_{3} = \frac{300 + 500}{2} = 400$ である。

ここで $b_{2} - a_{2} = 200 > 4$ であり，また $b_{3} - a_{3} = 400 - 10015$ である。 $400 - 10015 > 4$ は $15 < \frac{99}{25}$ と同値で，両辺は正であり $15 < \frac{9801}{625}$ が成り立つので，確かに $b_{3} - a_{3} > 4$ である。

(2)を $n = 3$ に用いると $b_{4} - a_{4} ≦ \frac{( 400 - 100 15 ) ^{2}}{8 \cdot 100 15}$ である。右辺が4未満であることは $(400 - 10015)^{2} < 320015$ を示せばよい。両辺を10000で割ると $(4 - 15)^{2} < \frac{8}{25} 15$ であり，左辺は $31 - 815$ であるから，これは $31 < \frac{208}{25} 15$ と同値である。両辺を2乗すると $961 < \frac{43264}{625} \cdot 15$ であり，右辺は $1038$ より大きいので成り立つ。したがって $b_{4} - a_{4} < 4$ である。

以上より， $b_{n} - a_{n} < 4$ を満たす最小の $n$ は $n = 4$ である。

京都大学 1996年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

京都大学 1996年度
文系数学第2問