問題
各成分が0以上の整数である行列で，をみたすものをすべて求めよ．
出典：京都大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
次正方行列 を とおいて扱う。 を成分比較し，すべての成分が0以上の整数であることから，まず対角成分 が0または1に限られることを示す。次に非対角成分の式から， の場合と の場合に分ける。 では ， まで絞られ， では上三角・下三角・対角の場合を漏れなく列挙する。
解答
を 次正方行列とし，
とおく。 は0以上の整数である。
まず
であるから， の各成分を比較すると である。
第1式の左辺は非負整数の和であるから，特に である。よって である。同様に第4式から である。
まず の場合を考える。このとき は正の整数である。第2式または第3式より である。ここで であり，他の項はすべて0以上だから でなければならない。したがって であり
を得る。
次に の場合を考える。 なら， は対角行列であり，すでに と分かっている。よって
である。 ， の場合は，第2式から である。 は0または1なので，これは に限られる。したがって
である。
同様に ， の場合は
である。
以上をまとめると，求める行列は
および
さらに
である。逆に，これらの行列は直接計算によりいずれも を満たす。