京都大学 1994年度理系数学第6問解答・解説

問題

$θ$ が0から $2 π$ まで変化するとき，点 $P (θ) = (2 cos θ - cos 2 θ, 2 sin θ - sin 2 θ)$ の描く曲線を考える．

(1) この曲線の全長 $L$ を求めよ．

(2) この曲線の $0 ≦ θ ≦ θ_{n}$ の部分の長さが $\frac{L}{n}$ となるように $θ_{n}$ を定めるとき，極限値 $n \to \infty lim n θ_{n}$ を求めよ．

出典：京都大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

曲線の長さなので，まず $x (θ), y (θ)$ を微分して速さ $(d x / d θ)^{2} + (d y / d θ)^{2}$ を求める。三角関数を整理すると速さは $4 sin (θ /2)$ になり， $0 ≦ θ ≦ 2 π$ では非負なのでそのまま積分できる。(2)では $0$ から $θ_{n}$ までの弧長を式にし， $L / n$ と等置して $sin (θ_{n} /4) = 1/ n$ へ変形する。最後は $θ_{n} \to 0$ を確認し， $sin u / u \to 1$ を用いる。

解答

(1)

$x = 2 cos θ - cos 2 θ, y = 2 sin θ - sin 2 θ$ とおく。微分すると $\frac{d x}{d θ} = - 2 sin θ + 2 sin 2 θ$ であり， $\frac{d y}{d θ} = 2 cos θ - 2 cos 2 θ$ である。したがって速さの2乗は

(\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2} = 4 {(sin 2 θ - sin θ)^{2} + (cos θ - cos 2 θ)^{2}} = 4 {2 - 2 (sin 2 θ sin θ + cos 2 θ cos θ)} = 4 (2 - 2 cos θ) = 8 - 8 cos θ = 16 sin^{2} \frac{θ}{2}

である。 $0 ≦ θ ≦ 2 π$ では $sin (θ /2) ≧ 0$ だから，速さは $4 sin \frac{θ}{2}$ である。

よって曲線の全長は $L = \int_{0}^{2 π} 4 sin \frac{θ}{2} d θ$ である。計算すると $L = [- 8 cos \frac{θ}{2}]_{0}^{2 π} = 8 + 8 = 16$ となる。したがって $L = 16$ である。

(2)

$0 ≦ θ ≦ θ_{n}$ の部分の長さは

\int_{0}^{θ_{n}} 4 sin \frac{θ}{2} d θ = [- 8 cos \frac{θ}{2}]_{0}^{θ_{n}} = 8 (1 - cos \frac{θ _{n}}{2})

である。これが $L / n = 16/ n$ に等しいので $8 (1 - cos \frac{θ _{n}}{2}) = \frac{16}{n}$ となり， $1 - cos \frac{θ _{n}}{2} = \frac{2}{n}$ である。

半角の公式より $1 - cos \frac{θ _{n}}{2} = 2 sin^{2} \frac{θ _{n}}{4}$ であるから $2 sin^{2} \frac{θ _{n}}{4} = \frac{2}{n}$ となる。 $0 ≦ θ_{n} ≦ 2 π$ より $0 ≦ θ_{n} /4 ≦ π /2$ なので， $sin \frac{θ _{n}}{4} = \frac{1}{n}$ である。 $n \to \infty$ のとき右辺は $0$ へ近づくから， $θ_{n} /4 \to 0$ である。 $u = θ_{n} /4$ とおくと $n θ_{n} = 4 n u = 4 \frac{u}{s i n u}$ である。ここで $u \to 0$ のとき $sin u / u \to 1$ だから $lim_{n \to \infty} n θ_{n} = 4$ である。

よって求める極限値は $4$ である。

京都大学 1994年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1994年度
理系数学第6問