京都大学 1994年度理系数学第4問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で，3点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ， $P (t, 2 t^{2} + 1)$ を考え， $∠ A P B$ の2等分線と $x$ 軸との交点を $Q$ とする． $t$ がすべての実数値を動くとき， $\frac{QB}{A Q}$ の最大値，最小値を求めよ．

出典：京都大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

角の二等分線定理で $QB / A Q$ を $P B / A P$ に直す。点 $P$ の座標を代入すると比の2乗が $t$ の有理式になるので，分母が常に正であることを確認してから微分し， $t = - 1/2$ と $t = 1/2$ で最大・最小を調べる。最後は2乗した量から元の比へ戻す。別解として，微分を使わず， $5/9 ≦ R (t) ≦ 9/5$ を平方完成型の恒等式で直接示す方法も有効である。

解答

角の二等分線定理より $\frac{A Q}{QB} = \frac{A P}{P B}$ である。したがって $\frac{QB}{A Q} = \frac{P B}{A P}$ である。 $P = (t, 2 t^{2} + 1)$ だから $P B^{2} = (t - 1)^{2} + (2 t^{2} + 1)^{2}$ であり， $A P^{2} = (t + 1)^{2} + (2 t^{2} + 1)^{2}$ である。よって $R (t) = (\frac{QB}{A Q})^{2}$ とおくと

R (t) = \frac{( t - 1 ) ^{2} + ( 2 t ^{2} + 1 ) ^{2}}{( t + 1 ) ^{2} + ( 2 t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{4 t ^{4} + 5 t ^{2} - 2 t + 2}{4 t ^{4} + 5 t ^{2} + 2 t + 2}

である。分母は距離の2乗なので常に正である。 $N = 4 t^{4} + 5 t^{2} - 2 t + 2, D = 4 t^{4} + 5 t^{2} + 2 t + 2$ とおくと， $R = N / D$ である。微分して整理すると $R^{'} (t) = \frac{4 ( 2 t - 1 ) ( 2 t + 1 ) ( 3 t ^{2} + 2 )}{D ^{2}}$ となる。 $3 t^{2} + 2 > 0$ ， $D^{2} > 0$ なので， $R^{'} (t)$ の符号は $(2 t - 1) (2 t + 1)$ で決まる。

したがって $R (t)$ は $- \infty < t < - 1/2$ で増加し， $- 1/2 < t < 1/2$ で減少し， $1/2 < t < \infty$ で増加する。また $t \to \pm \infty$ で $R (t) \to 1$ である。

よって最大は $t = - 1/2$ ，最小は $t = 1/2$ でとられる。実際， $R (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{5}, R (\frac{1}{2}) = \frac{5}{9}$ である。求める $QB / A Q$ は正なので，最大値は $\frac{3 5}{5}$ であり，最小値は $\frac{5}{3}$ である。

別解。微分を使わずに範囲を直接押さえることもできる。上と同じく $R (t) = \frac{N}{D}$ とおく。 $D > 0$ であり， $9 D - 5 N = 4 (2 t + 1)^{2} (t^{2} - t + 2)$ である。ここで $t^{2} - t + 2 = (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0$ だから $9 D - 5 N ≧ 0$ であり， $R (t) ≦ \frac{9}{5}$ を得る。等号は $t = - 1/2$ で成り立つ。

同様に $9 N - 5 D = 4 (2 t - 1)^{2} (t^{2} + t + 2)$ であり， $t^{2} + t + 2 = (t + \frac{1}{2})^{2} + \frac{7}{4} > 0$ だから $9 N - 5 D ≧ 0$ である。よって $R (t) ≧ \frac{5}{9}$ であり，等号は $t = 1/2$ で成り立つ。したがって同じ最大値・最小値が得られる。

京都大学 1994年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

京都大学 1994年度
理系数学第4問