京都大学 1994年度
理系数学 第3問

解答

$A$を原点とし，点の位置を $X=\lambda B+\mu C+\nu D$ の形で表す。ここで$B,C,D$はそれぞれ$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$を表すものとする。

点$E,F,G$は $E=sB,F=tC,G=tD$ である。平面$EFG$上の点は，ある$\alpha ,\beta ,\gamma$について $X=\alpha E+\beta F+\gamma G,\alpha +\beta +\gamma =1$ と表される。したがって $\lambda =s\alpha ,\mu =t\beta ,\nu =t\gamma$ であり，平面$EFG$は $\frac{\lambda }{s}+\frac{\mu }{t}+\frac{\nu }{t}=1$ で表される。

一方，平面$BCD$上の点は $\lambda +\mu +\nu =1$ を満たす。したがって，平面$EFG$と平面$BCD$の交線上では，$\mu +\nu =1-\lambda$を用いて $\frac{\lambda }{s}+\frac{1-\lambda }{t}=1$ となる。 $s=t$なら，平面$EFG$は $\lambda +\mu +\nu =s$ となり，$0<s<1$なので平面$BCD$とは交わらない。したがってこの場合は共有点をもたない。

以下，$s\ne t$とする。上の式を解くと $t\lambda +s(1-\lambda )=st$ であるから $(t-s)\lambda =s(t-1)$ となり，$\lambda =\frac{s(1-t)}{s-t}$ を得る。つまり，交線上では$B$方向の係数$\lambda$が一定である。

次に，正三角形$BCD$の外接円上で$\lambda$がとる範囲を求める。平面$BCD$上に座標を取り，外接円を単位円として

とおく。$X=\lambda B+\mu C+\nu D$，$\lambda +\mu +\nu =1$の$x$座標は

である。外接円上では$-1\leqq x\leqq 1$なので $-1\leqq \frac{3\lambda -1}{2}\leqq 1$ であり，$-\frac{1}{3}\leqq \lambda \leqq 1$ を得る。逆にこの範囲の$\lambda$に対しては，対応する$x$座標の縦線が外接円と交わるので，この条件は必要十分である。

したがって，共有点をもつ条件は $-\frac{1}{3}\leqq \frac{s(1-t)}{s-t}\leqq 1$ である。 $t<s$のときは$s-t>0$で，$\frac{s(1-t)}{s-t}-1=\frac{t(1-s)}{s-t}>0$ だから$\lambda >1$となり，共有点をもたない。 $t>s$のときは$s-t<0$で，$s(1-t)>0$だから$\lambda <0$である。よって$\lambda \leqq 1$は自動的に満たされ，残る条件は $\frac{s(1-t)}{s-t}\geqq -\frac{1}{3}$ である。ここで$s-t<0$に注意して変形すると $3s(1-t)\leqq t-s$ すなわち $4s\leqq t(1+3s)$ である。したがって $t\geqq \frac{4s}{1+3s}$ を得る。 $0<s<1$のもとでは $s<\frac{4s}{1+3s}<1$ であるから，この条件は$t>s$も含んでいる。よって求める条件は $0<s<1,\frac{4s}{1+3s}\leqq t<1$ である。

図示すると，$(s,t)$平面の正方形$0<s<1$，$0<t<1$の中で，曲線 $t=\frac{4s}{1+3s}$ 上およびその上側の部分である。ただし上端$t=1$と左右の端$s=0,1$は含まない。曲線は$(0,0)$から$(1,1)$へ向かう増加曲線で，境界曲線自体は$0<s<1$の範囲で含まれる。