問題
，，の3人が色のついた札を1枚ずつ持っている．はじめに，，，の持っている札の色はそれぞれ赤，白，青である．がさいころを投げて，3の倍数の目が出たらはと持っている札を交換し，その他の目が出たらはと札を交換する．この試行を回繰り返した後に，赤い札を，，が持っている確率を，それぞれ，，とする．
(1) のとき，，，を，，で表せ．
(2) を求めよ．
方針
赤い札の持ち主だけを状態として追う。3の倍数が出る確率は，その他の目が出る確率はなので，赤札がのどこにあるかで次の状態を書き分ける。(2)では3本の漸化式をそのまま解くより，合計を使ってだけの漸化式に落とすとよい。偶数番目と奇数番目で初期値が違うため，2つの等比数列として整理する。
解答
(1)
3の倍数の目はの2通りなので，その確率はである。その他の目が出る確率はである。
赤い札がにある状態から，次に赤い札がに残ることはない。赤い札がにあるとき，3の倍数が出ればとが交換して赤い札はへ移り，その他の目ならとの交換なので赤い札はに残る。赤い札がにあるとき，その他の目なら赤い札はへ移り，3の倍数ならに残る。
したがって であり，さらに である。
(2)
初めは赤い札をが持っているので である。また1回後にはは必ず赤い札を失うので である。
(1)の式から，をだけで表す。まず である。ここへ を代入すると
である。常にだから となる。したがって である。
偶数番目について，とおくと であり， である。よって なので である。
奇数番目について，とおくと同じく であり， である。したがって となり， を得る。
別解。2回の試行をひとまとまりにしても，同じ漸化式を直接得られる。赤い札がにあるとき，2回後もにある確率は である。赤い札がにあるときもにあるときも，2回後ににある確率は である。したがって となり，以下は上と同じ偶数・奇数の場合分けで求められる。