京都大学 1994年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$n$ を自然数とし， $I_{n} = \int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x$ とおく．

(1) $I_{n + 1}$ を $I_{n}$ を用いて表せ．

(2) すべての $n$ に対して， $\frac{e - 1}{n + 1} ≦ I_{n} ≦ \frac{( n + 1 ) e + 1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$ が成り立つことを示せ．

出典：京都大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

(1)は部分積分する。(2)では $t = lo g x$ により $I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} e^{t} d t$ とする。上側は指数関数と端点を結ぶ直線の比較、下側は2つの増加関数に対する積分の積の比較を、二重積分の非負性から示す。

部分積分により

I_{n + 1} = [x (lo g x)^{n + 1}]_{1}^{e} - (n + 1) \int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x = e - (n + 1) I_{n}

である。

$t = lo g x$ とおくと $d x = e^{t} d t$ だから

I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} e^{t} d t

である。区間 $0 ≦ t ≦ 1$ で、指数関数のグラフは両端を結ぶ弦の下側にあるから

e^{t} ≦ 1 + (e - 1) t

である。よって

I_{n} ≦ \int_{0}^{1} t^{n} {1 + (e - 1) t} d t = \frac{1}{n + 1} + \frac{e - 1}{n + 2} = \frac{( n + 1 ) e + 1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} .

下側を示す。 $t^{n}$ と $e^{t}$ はともに増加関数なので、任意の $s, t \in [0, 1]$ に対し

(t^{n} - s^{n}) (e^{t} - e^{s}) ≧ 0

である。これを正方形 $0 ≦ s, t ≦ 1$ 上で積分して整理すると

2 \int_{0}^{1} t^{n} e^{t} d t - 2 (\int_{0}^{1} t^{n} d t) (\int_{0}^{1} e^{t} d t) ≧ 0

となる。したがって

I_{n} ≧ \frac{1}{n + 1} (e - 1)

である。以上で両側の不等式が示された。