京都大学 1994年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を整数とし，行列 $A = (a c b d)$ を考える． $(a_{0} c_{0} b_{0} d_{0}) = (1001)$ とし，自然数 $n$ に対して $A^{n} = (a_{n} c_{n} b_{n} d_{n})$ とする．このとき，

(1) $n ≧ 0$ について， $c_{n + 2} - (a + d) c_{n + 1} + (a d - b c) c_{n} = 0$ を示せ．

(2) $p$ を素数とし， $a + d$ は $p$ で割り切れないものとする．ある自然数 $k$ について， $c_{k}$ と $c_{k + 1}$ が $p$ で割り切れるならば，すべての $n$ について $c_{n}$ は $p$ で割り切れることを示せ．

出典：京都大学 1994年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は行列の恒等式から左下成分の漸化式を得る。(2)では $D = a d - b c$ が法 $p$ で0か否かに分ける。(Dot\equiv0) なら逆向きにたどり、 $D \equiv 0$ なら (c_{n+1}≡ $a + d$ c_n) と trace の非零性を使って $c_{1}$ まで戻す。

解答

(1)

単位行列を $I$ とする。成分を計算すると

A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I = O

である。これに $A^{n}$ を掛け、左下成分を比較すれば、 $n ≧ 0$ について

c_{n + 2} - (a + d) c_{n + 1} + (a d - b c) c_{n} = 0

を得る。

(2)

$T = a + d, D = a d - b c$ とおき、法 $p$ で考える。仮定は $T \neq \equiv 0$ である。

まず $D \neq \equiv 0$ の場合、漸化式を $D c_{n} = T c_{n + 1} - c_{n + 2}$ と書ける。 $c_{k} \equiv c_{k + 1} \equiv 0$ から前向きに $c_{n} \equiv 0 (n ≧ k)$ を得る。また (Dot\equiv0) なので逆向きにも $c_{k - 1}, c_{k - 2}, \dots$ が順に0となる。

次に $D \equiv 0$ の場合、漸化式は $c_{n + 2} \equiv T c_{n + 1}$ となる。したがって $n ≧ 1$ で $c_{n} \equiv T^{n - 1} c_{1}$ である。 $T \neq \equiv 0$ であり $c_{k} \equiv 0$ だから $c_{1} \equiv 0$ となり、すべての $n ≧ 1$ で $c_{n} \equiv 0$ である。また $c_{0} = 0$ である。

いずれの場合も、すべての $n ≧ 0$ について $c_{n}$ は $p$ で割り切れる。

京都大学 1994年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1994年度
後期・理系数学後期第2問