問題
平面上で，を中心とする半径1の円をとする．，はそれぞれ軸，軸の正の部分にある点で，線分が円に接しているとする．正三角形を第1象限内に描くとき，頂点の座標について，，の間に成り立つ関係式を求めよ．
出典：京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
軸上の点を (P=,Q=) と置き、直線 と円の中心との距離が1である条件を得る。第1象限内の正三角形の頂点を で表し、その連立式を逆に解いて消去する。
解答
とおく。直線 は
である。中心 からこの直線までの距離が1だから
である。2乗して整理すると
を得る。
線分 を一辺とする正三角形の2つの候補のうち、第1象限にある頂点は
である。これを とすると
となる。これを (1) に代入して
を得る。ただし結果を枠で囲む必要はなく、関係式は
である。