問題
実数はを満たすとする．半径の円の周上に2点，を，弧の長さが1になるようにとる．点が弧上をからまで動くとき，弦が動いて通過する部分の面積をとする．
が変化するとき，面積の最大値を求めよ．
出典：京都大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第5問
方針
弦 の通過領域は弧 と弦 に囲まれた円弧部分である。中心角を と置いて面積を一変数関数にし、導関数の符号を半角公式で調べる。
解答
弧 の中心角を とすると、 より である。 が弧上を動くとき、線分 の通過部分は弧 と弦 に囲まれた部分である。したがって
である。
とおく。条件 より であり、
となる。定数 を除いた関数を微分すると、その符号は
の符号に一致する。
では、 とおくと であり、 だから括弧内は正である。よって は増加する。 では であり、括弧内は正だから は減少する。したがって最大は 、すなわち のときで、
である。なお は とおけば から従う。