京都大学 1993年度理系数学第4問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対して，

a_{n} = \int_{0}^{1} (1 + x)^{- n - 1} e^{x^{2}} d x

b_{n} = \int_{0}^{1} (1 + x)^{- n} x e^{x^{2}} d x

とおく．

(1) $b_{n} ≦ e \cdot \int_{0}^{1} (1 + x)^{- n} d x$ が成り立つことを示し， $n \to \infty lim b_{n}$ を求めよ．

(2) $n \to \infty lim n a_{n}$ を求めよ．

出典：京都大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

(1)は $0 ≦ x ≦ 1$ で $x e^{x^{2}} ≦ e$ を使って上から押さえる。右辺の積分は明示的に計算でき， $n \to \infty$ で0になる。(2)は重み $(1 + x)^{- n - 1}$ が $x = 0$ 付近に集中することを使う。下からは $e^{x^{2}} ≧ 1$ ，上からは小さい区間で $e^{x^{2}}$ を1に近く押さえ，残りの区間が $n$ を掛けても消えることを示す。

解答

(1)

$0 ≦ x ≦ 1$ では $x ≦ 1$ ， $e^{x^{2}} ≦ e$ であるから $x e^{x^{2}} ≦ e$ である。よって $b_{n} = \int_{0}^{1} (1 + x)^{- n} x e^{x^{2}} d x ≦ e \int_{0}^{1} (1 + x)^{- n} d x$ が成り立つ。

また $n ≧ 2$ について

\int_{0}^{1} (1 + x)^{- n} d x = [\frac{( 1 + x ) ^{- n + 1}}{- n + 1}]_{0}^{1} = \frac{1 - 2 ^{1 - n}}{n - 1}

である。これは $n \to \infty$ で0に近づく。 $b_{n} ≧ 0$ でもあるから，はさみうちにより $lim_{n \to \infty} b_{n} = 0$ である。

(2)

まず

\int_{0}^{1} (1 + x)^{- n - 1} d x = [- \frac{( 1 + x ) ^{- n}}{n}]_{0}^{1} = \frac{1 - 2 ^{- n}}{n}

である。 $e^{x^{2}} ≧ 1$ より $a_{n} ≧ \int_{0}^{1} (1 + x)^{- n - 1} d x = \frac{1 - 2 ^{- n}}{n}$ だから $n a_{n} ≧ 1 - 2^{- n}$ であり，下からの極限は少なくとも1である。

上から押さえる。任意の正の数 $h$ を取る。 $e^{x^{2}}$ は $x = 0$ の近くで1に近いので，ある $0 < δ < 1$ を選べば $0 ≦ x ≦ δ ⟹ e^{x^{2}} ≦ 1 + h$ となる。この $δ$ を固定する。すると

a_{n} = \int_{0}^{δ} (1 + x)^{- n - 1} e^{x^{2}} d x + \int_{δ}^{1} (1 + x)^{- n - 1} e^{x^{2}} d x

より

a_{n} ≦ (1 + h) \int_{0}^{δ} (1 + x)^{- n - 1} d x + e \int_{δ}^{1} (1 + x)^{- n - 1} d x

である。第1項はさらに $(1 + h) \int_{0}^{1} (1 + x)^{- n - 1} d x = \frac{( 1 + h ) ( 1 - 2 ^{- n} )}{n}$ 以下である。第2項については $\int_{δ}^{1} (1 + x)^{- n - 1} d x ≦ (1 + δ)^{- n - 1}$ なので $n e \int_{δ}^{1} (1 + x)^{- n - 1} d x ≦ n e (1 + δ)^{- n - 1} \to 0$ である。

したがって十分大きい $n$ では $n a_{n}$ は上からほぼ $1 + h$ 以下であり， $h$ は任意に小さくできる。下からの評価と合わせて $lim_{n \to \infty} n a_{n} = 1$ である。

京都大学 1993年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1993年度
理系数学第4問