問題
とする．双曲線に点から2本の接線を引いて，それぞれの接点を，とするとき，の面積を最小にするようなの値を求めよ．
出典：京都大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
双曲線 上の点 における接線は と書ける。これが を通る条件から が決まり，接点2つの座標が対称に求まる。底辺 と高さを で表して面積関数にし， とおいて正の1変数関数の最小値を微分で調べる。
解答
双曲線 上の点 における接線は である。これが を通るので すなわち である。接点は双曲線上にあるから より である。したがって2つの接点は
である。
よって底辺 の長さは であり，点 から直線 までの高さは である。したがって三角形の面積を とすると である。整理して
を得る。 とおくと であり， を最小にすることは を最小にすることと同じである。 とおく。微分すると である。したがって で減少し， で増加する。よって最小となるのは のときである。 ， より，求める値は である。