京都大学 1993年度理系数学第2問解答・解説

問題

点 $O$ を中心とする半径1の円 $C$ に含まれる2つの円 $C_{1}$ ， $C_{2}$ を考える．ただし $C_{1}$ ， $C_{2}$ の中心は $C$ の直径 $A B$ 上にあり， $C_{1}$ は点 $A$ で，また $C_{2}$ は点 $B$ でそれぞれ $C$ と接している．また $C_{1}$ ， $C_{2}$ の半径をそれぞれ $a$ ， $b$ とする． $C$ 上の点 $P$ から $C_{1}$ ， $C_{2}$ に1本ずつ接線を引き，それらの接点を $Q$ ， $R$ とする．

(1) $∠ P O A = θ$ とするとき， $P Q$ は $θ$ によってどのように表せるか．

(2) $P$ を $C$ 上で動かしたときの $P Q + P R$ の最大値を求めよ．

出典：京都大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

直径 $A B$ を $x$ 軸に置き， $A = (1, 0)$ ， $B = (- 1, 0)$ とする。点から円への接線長は「中心までの距離の2乗から半径の2乗」を使って求める。 $P = (cos θ, sin θ)$ とおけば $P Q$ は $sin (θ /2)$ ， $P R$ は $cos (θ /2)$ に比例する。最後は $A sin u + B cos u$ の最大値として処理する。

解答

円 $C$ の中心を原点とし，直径 $A B$ を $x$ 軸上に取って $A = (1, 0), B = (- 1, 0)$ とする。 $C_{1}$ は $A$ で $C$ と接し，半径が $a$ なので，その中心は $(1 - a, 0)$ である。同様に $C_{2}$ の中心は $(- 1 + b, 0)$ である。

(1)

$∠ P O A = θ$ とするので $P = (cos θ, sin θ)$ とおく。点 $P$ から円 $C_{1}$ へ引いた接線の長さは， $P$ と $C_{1}$ の中心との距離の2乗から $a^{2}$ を引いたものの平方根である。したがって $P Q^{2} = {cos θ - (1 - a)}^{2} + sin^{2} θ - a^{2}$ である。整理すると $P Q^{2} = 1 - 2 (1 - a) cos θ + (1 - a)^{2} - a^{2} = 2 (1 - a) (1 - cos θ)$ である。さらに $1 - cos θ = 2 sin^{2} \frac{θ}{2}$ より $P Q = 2 1 - a sin \frac{θ}{2}$ である。ここで $0 ≦ θ ≦ π$ と見てよいので， $sin (θ /2) ≧ 0$ である。

(2)

同様に， $C_{2}$ への接線長について $P R^{2} = {cos θ - (- 1 + b)}^{2} + sin^{2} θ - b^{2}$ である。これを整理すると $P R^{2} = 2 (1 - b) (1 + cos θ) = 4 (1 - b) cos^{2} \frac{θ}{2}$ なので $P R = 2 1 - b cos \frac{θ}{2}$ である。

よって

P Q + P R = 2 1 - a sin \frac{θ}{2} + 2 1 - b cos \frac{θ}{2}

である。 $u = θ /2$ とおくと $0 ≦ u ≦ π /2$ であり， $P Q + P R = 2 {1 - a sin u + 1 - b cos u}$ となる。任意の $u$ に対して

1 - a sin u + 1 - b cos u ≦ (1 - a) + (1 - b) sin^{2} u + cos^{2} u

であるから $P Q + P R ≦ 2 2 - a - b$ である。

等号は $(sin u, cos u)$ が $(1 - a, 1 - b)$ と同じ向きになるように $u$ を選べば成り立つ。したがって最大値は $2 2 - a - b$ である。

京都大学 1993年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1993年度
理系数学第2問