京都大学 1993年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $c_{1}$ ， $c_{2}$ を実数とする．不等式 $\frac{a _{1} x + b _{1}}{x + c _{1}} > \frac{a _{2} x + b _{2}}{x + c _{2}}$ が $x \neq = - c_{1}$ かつ $x \neq = - c_{2}$ となるすべての実数 $x$ に対して成立するための必要十分条件を求めよ．

出典：京都大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

分母の極の位置 $c_{1}, c_{2}$ が一致するかで分ける。異なる極では各分数の分子がその極で0にならなければ符号が左右で反転する。一致する極では差の一次分子が分母の正の定数倍となることが必要十分である。

解答

まず $c_{1} \neq = c_{2}$ とする。 $x = - c_{1}$ の両側で第1の分数だけが発散する。すべての定義点で同じ向きの不等式が成り立つには、その分子が $x = - c_{1}$ で0でなければならない。従って

b_{1} = a_{1} c_{1} .

同様に $x = - c_{2}$ から $b_{2} = a_{2} c_{2}$ が必要である。このとき各分数は定義域でそれぞれ定数 $a_{1}, a_{2}$ となるから、さらに $a_{1} > a_{2}$ が必要十分である。

次に $c_{1} = c_{2} = c$ とする。差は

\frac{( a _{1} - a _{2} ) x + ( b _{1} - b _{2} )}{x + c} .

これがすべての $x \neq = - c$ で正となるには、分子が分母の正の定数倍であることが必要十分である。従って

a_{1} > a_{2}, b_{1} - b_{2} = (a_{1} - a_{2}) c .

以上より必要十分条件は

⎩ ⎨ ⎧ c_{1} \neq = c_{2}, b_{1} = a_{1} c_{1}, b_{2} = a_{2} c_{2}, a_{1} > a_{2}, または c_{1} = c_{2} = c, a_{1} > a_{2}, b_{1} - b_{2} = (a_{1} - a_{2}) c

である。

京都大学 1993年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

京都大学 1993年度
後期・理系数学後期第6問