京都大学 1993年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$a$ は正の定数とする．不等式 $a^{x} ≧ a x$ がすべての正の数 $x$ に対して成り立つという．このとき $a$ はどのようなものか．

出典：京都大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

対数を取って $F (x) = (x - 1) lo g a - lo g x$ と置く。すべての正数で $F (x) ≧ 0$ かつ $F (1) = 0$ なので、 $x = 1$ が極小となるための微分条件から $a$ を一意に決め、指数関数の基本不等式で十分性を示す。

条件は

a^{x - 1} ≧ x (x > 0)

と同値である。対数を取って

F (x) = (x - 1) lo g a - lo g x

とおくと、すべての $x > 0$ で $F (x) ≧ 0$ かつ $F (1) = 0$ である。従って $x = 1$ は極小点であり、

F^{'} (1) = lo g a - 1 = 0.

よって必要条件は $a = e$ である。

逆に $a = e$ のとき、示すべき式は $e^{x - 1} ≧ x$ である。 $H (x) = e^{x - 1} - x$ とおけば

H^{'} (x) = e^{x - 1} - 1

なので $x = 1$ で最小値0をとる。従ってすべての正数 $x$ で成立する。求める定数は

a = e

だけである。