京都大学 1993年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

原点 $O$ を中心とする1つの円周上に相異なる4点 $A_{0}$ ， $B_{0}$ ， $C_{0}$ ， $D_{0}$ をとる． $A_{0}$ ， $B_{0}$ ， $C_{0}$ ， $D_{0}$ の位置ベクトルをそれぞれ $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ と書く．

(1) $△ B_{0} C_{0} D_{0}$ ， $△ C_{0} D_{0} A_{0}$ ， $△ D_{0} A_{0} B_{0}$ ， $△ A_{0} B_{0} C_{0}$ の重心をそれぞれ $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ とする．このとき，この4点は同一円周上にあることを示し，その円の中心 $P_{1}$ の位置ベクトル $O P_{1}$ を $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ で表せ．

(2) 4点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ に対し上と同様に $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ を定め， $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ を通る円の中心を $P_{2}$ とする．以下，同様に $P_{3}, P_{4}, \dots$ を定める． $P_{n} P_{n + 1}$ を $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ で表せ．

(3) $n \to \infty lim ∣ P_{n} Q ∣ = 0$ を満たす点 $Q$ の位置ベクトルを $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ で表せ．ただし， $∣ P_{n} Q ∣$ は線分 $P_{n} Q$ の長さである．

出典：京都大学 1993年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

4位置ベクトルの和を $s$ と置く。重心操作は各点を $s /3$ を中心に比 $- 1/3$ で移すので、円の中心にも同じ一次漸化式が成り立つ。これを解いて増分と極限を求める。

解答

$s = a + b + c + d$ とおく。

(1)

各重心の位置ベクトルは

O A_{1} = \frac{s - a}{3}, O B_{1} = \frac{s - b}{3}, 以下同様

である。点 $P_{1}$ を $O P_{1} = s /3$ とすると

P_{1} A_{1} = - \frac{a}{3}, P_{1} B_{1} = - \frac{b}{3}, 以下同様

であり、4本の長さは等しい。従って4点は中心 $P_{1}$ の同一円周上にあり、

O P_{1} = \frac{a + b + c + d}{3} .

(2)

各段階でも4点の位置ベクトルの和は $s$ のままである。中心の位置ベクトルを $p_{n} = O P_{n}$ 、また $p_{0} = 0$ とすると

p_{n + 1} = \frac{s}{3} - \frac{p _{n}}{3} .

この漸化式を解くと

p_{n} = \frac{s}{4} {1 - (- \frac{1}{3})^{n}} .

よって

P_{n} P_{n + 1} = p_{n + 1} - p_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{3 ^{n + 1}} (a + b + c + d) .

(3)

上式から $p_{n} \to s /4$ である。従って

O Q = \frac{a + b + c + d}{4} .

京都大学 1993年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

京都大学 1993年度
後期・理系数学後期第3問