問題
，，は正の整数でを満たしている．について，，，を次式できめる．
(1) を数学的帰納法により証明せよ．
(2) およびを示せ．
(3) となったときのについて，を求めよ．
方針
絶対値の中身を一度 ， と置き， と を直接比較する。展開すると差が になり，帰納法が通る。(2)は が0以上で を満たすことから， と を使う。(3)は の等号条件が であることを使い，停止直前の比を ， で解く。
解答
(1)
番目で が成り立つと仮定する。絶対値の中身を とおく。このとき である。また である。
直接展開すると
帰納法の仮定より右辺は0である。したがって である。
初めに が成り立っているので，数学的帰納法により，すべての正整数 について が成り立つ。
(2)
(1)より，各 について である。また は絶対値で定義されるので0以上である。
まず であるから である。したがって となり である。
次に を示す。初めは仮定より である。 とすると， だから である。よって である。ここで なので である。したがって帰納法により もすべての で成り立つ。
(3)
まず，どのようなときに となるかを調べる。(2)の計算より であるから，等号 は と同値である。このとき も成り立つので である。展開して となるから である。 も合わせると，等号が起こるときの比は である。
いま とする。すると で等号が起こるので である。 ， とおく。 は正なので であり，(1)より である。
まず次の比が になる場合を考える。このとき だから である。 で割ると である。これと を連立する。 を代入して すなわち である。よって である。 では となり， に反する。したがって である。
次の比が になる場合は，同様に だから であり， を解けば を得る。
以上より である。実際，これらの比では なので となり， も満たしている。