問題
空間内で平面上の放物線を軸のまわりに回転して得られる曲面に4点
で，それぞれ接する4つの平面を考える．
(1) この4つの接平面と平面で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2) の最小値と，そのときのの値を求めよ．
出典：京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
回転して得られる曲面は である。各接点での接平面を求めると，， の4枚になる。これらと 平面で囲まれる立体を高さ で切ると，， が同じ上限を持つ正方形になるため，断面積を積分する。(2)では とおいて を で最小化する。
解答
(1)
放物線 を 軸のまわりに回転して得られる曲面は である。
点 における接平面を求める。 では， 方向の傾きは ， 方向の傾きは であるから，この点での接平面は すなわち である。同様に，4点での接平面は である。
これら4平面と 平面で囲まれる立体を，高さ の水平面で切る。 において，4つの平面の内側にある条件は である。したがって となる。よって高さ の断面は，一辺の長さ の正方形である。
したがって体積は
よって である。
別解。断面の形から，この立体は頂点 を持ち， 平面上に一辺 の正方形を底面とする四角すいである。したがって
とも求められる。
(2)
とおく。 より であり， である。これを とおくと である。 では， で ， で だから，最小は で生じる。
したがって であり，このとき
である。よって である。