問題
サイコロをくり返し回振って，出た目の数を掛け合わせた積をとする．すなわち，回目に出た目の数をとすると，
(1) が3で割りきれる確率を求めよ．
(2) が6で割りきれる確率を求めよ．
出典：京都大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
(1)は3の倍数 が一度も出ない余事象を用いる。(2)は なので，積が6で割り切れない場合を「2の因子がない」または「3の因子がない」として包除原理で数える。両方ない場合は各出目が のどちらかに限られる。文系第4問と似ているが，ここでは4ではなく6の割り切れ方を問うているため，2と3の両方を追う。
解答
(1)
が3で割り切れないのは， 回すべてで3の倍数 が出ない場合である。1回で3の倍数が出ない確率は であるから である。よって である。
(2)
が6で割り切れるには，積に2の因子と3の因子がともに含まれればよい。そこで余事象を包除原理で数える。
2の因子が含まれないのは，すべての出目が奇数 である場合だから，その確率は である。3の因子が含まれないのは，すべての出目が のいずれかである場合だから，その確率は である。
この2つが同時に起こるのは，2の因子も3の因子も含まれない場合，すなわちすべての出目が のいずれかである場合である。その確率は である。
したがって， が6で割り切れない確率は である。よって
である。