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京都大学 1991年度
後期・理系数学後期第6問

試験区分: 後期日程第2次学力試験
対象: 理系
分野: 指数・対数、積分、論証・証明
解法: 接線・法線、定積分評価、不等式評価
難易度: 5 / 10　　計算量 4 / 10　　目安 —

問題

(1) 任意の定数 $a$ に対して $e^{x} ≧ e^{a} + (x - a) e^{a}$ が成り立つことを示せ．

(2) $\int_{0}^{1} e^{s i n π x} d x ≧ e^{\frac{2}{π}}$ を示せ．

出典：京都大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

(1)は指数関数と接線の差を微分して示す。(2)は $a$ を $sin π x$ の区間平均 $2/ π$ に選び、(1)を積分して一次項を消す。

解答

(1)

固定した $a$ に対し

H (x) = e^{x} - e^{a} - (x - a) e^{a}

とおく。 $H^{'} (x) = e^{x} - e^{a}$ だから $x = a$ で最小値0をとる。従って

e^{x} ≧ e^{a} + (x - a) e^{a} .

(2)

a = \int_{0}^{1} sin π x d x = \frac{2}{π}

とおく。(1)を $x$ の代わりに $sin π x$ へ適用すると

e^{s i n π x} ≧ e^{a} + (sin π x - a) e^{a} .

両辺を0から1まで積分すれば、一次項の積分は0になるので

\int_{0}^{1} e^{s i n π x} d x ≧ e^{a} = e^{2/ π} .