京都大学 1991年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$- 1 ≦ x ≦ 1$ で定義された関数 $y = f (x)$ はつぎの①，②を満たしている．

① $sin f (x) = 1 - x^{2}$

② $0 ≦ f (x) ≦ \frac{π}{2}$

(1) $x$ を $y$ の関数として表し， $y = f (x)$ のグラフの概形をかけ．

(2) $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

出典：京都大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

条件から $x = \pm 1 - sin y$ と逆向きに表す。面積は高さ $y$ の水平切片の幅を積分し、半角公式で平方根を外す。

$0 ≦ y ≦ π /2$ で

x^{2} = 1 - sin y

だから

x = \pm 1 - sin y .

従ってグラフは $y$ 軸対称で、 $(\pm 1, 0)$ から $(0, π /2)$ へつながる2本の曲線である。

高さ $y$ における横幅は $2 1 - sin y$ だから、面積 $S$ は

S = 2 \int_{0}^{π /2} 1 - sin y d y .

この範囲では

1 - sin y = cos \frac{y}{2} - sin \frac{y}{2} .

従って

S = 2 \int_{0}^{π /2} (cos \frac{y}{2} - sin \frac{y}{2}) d y = 42 - 4.