京都大学 1991年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

空間に原点を始点とする長さ1のベクトル $a$ ， $b$ ， $c$ がある． $a$ ， $b$ のなす角を $γ$ ， $b$ ， $c$ のなす角を $α$ ， $c$ ， $a$ のなす角を $β$ とするとき，つぎの関係の成立することを示せ．またここで等号の成立するのはどのような場合か．

0 ≦ cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ - 2 cos α cos β cos γ ≦ 1

出典：京都大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

2本の単位ベクトルを $x y$ 平面に置き、3本目の $z$ 成分を使う。与式はGram行列の行列式の補数 $1 - v^{2} sin^{2} γ$ となるため、上下界と等号条件を直接判定できる。

解答

$a = (1, 0, 0)$ 、 $b = (cos γ, sin γ, 0)$ と置く。また

c = (cos β, u, v)

と置けば

cos α = cos β cos γ + u sin γ, cos^{2} β + u^{2} + v^{2} = 1.

これらを計算すると

1 - {cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ - 2 cos α cos β cos γ} = v^{2} sin^{2} γ .

従って問題の中央の式を $E$ とおけば

E = 1 - v^{2} sin^{2} γ .

$0 ≦ v^{2} ≦ 1$ 、 $0 ≦ sin^{2} γ ≦ 1$ より

0 ≦ E ≦ 1.

$E = 0$ となるのは $v^{2} = 1, sin^{2} γ = 1$ のときであり、これは $a, b, c$ が互いに直交する場合である。 $E = 1$ となるのは $v sin γ = 0$ 、すなわち3ベクトルが同一平面内にある場合である。

京都大学 1991年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

京都大学 1991年度
後期・理系数学後期第3問