京都大学 1991年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

1辺の長さ2cmの正4面体を，1つの面を下にして水平面上に置く．この正4面体の各辺の中点を頂点とする正8面体 $H$ を中空の容器と考える．

(1) 容器 $H$ の高さ $h_{0} (cm)$ を求めよ．

(2) 水を毎秒1 $cm^{3}$ の割合で $H$ に注入するとき，水面の高さが $h$ cm $(0 ≦ h ≦ h_{0})$ になるまでに要する時間 $t$ (秒)を求めよ．

出典：京都大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

正四面体の辺の中点6個は、下側と上側の合同な正三角形を作る。高さ方向の断面は、向きが反対の2正三角形のMinkowski和となるため、断面積を高さの二次式として求めて積分する。

一辺2の正四面体の高さは

2 \frac{2}{3} .

辺の中点からなる正八面体 $H$ の上下の三角形は、底面の辺の中点と側辺の中点にあり、高さの差はその半分である。従って

h_{0} = \frac{2}{3} .

$u = h / h_{0}$ とおく。下端と上端の水平断面は一辺1、面積 $3 /4$ の正三角形で、互いに反対向きである。高さの割合 $u$ の断面積は

A (u) = \frac{3}{4} {1 + 2 u (1 - u)} .

これは、断面が $(1 - u)$ 倍の下三角形と $u$ 倍の上三角形の和であり、 $u = 1/2$ では一辺 $1/2$ の正六角形になることから得られる。

注水量がそのまま時間だから

t = \frac{3}{4} h_{0} \int_{0}^{u} {1 + 2 s (1 - s)} d s = \frac{2}{4} (u + u^{2} - \frac{2}{3} u^{3}) .

$u = h 3/2$ を戻すと

t = \frac{3}{4} (h - h^{3}) + \frac{3}{4 2} h^{2} (0 ≦ h ≦ 2/3) .