問題
正角形の頂点にと時計まわりに番号がつけてある．頂点0を出発点とし，サイコロを投げて出た目の数だけ頂点を時計まわりに移動し，着いた頂点の番号をとする．次にもう1度サイコロを投げて出た目の数だけ，頂点から時計まわりに移動し，着いた頂点の番号をとする．このようにして定めた確率変数，について
(1) のそれぞれの場合について，とは互いに独立か．
(2) ，が互いに独立となる をすべて求めよ．
ただし確率変数，が互いに独立であるとは，となる確率とかつとなる確率との間に，次の等式(＊)が任意の， について成り立つことである．
(＊)
方針
出目を法 の剰余として数え、独立性は条件付き確率で判定する。 は の一組で等式が破れることを示し、 と は1回の出目の剰余が一様であることから独立性を示す。残る と では、それぞれ具体的な一組を選んで独立条件が破れることを示し、全体を分類する。
解答
(1)
まず を考える。 となるのは、1回目の出目が または のときなので である。また となるには、2回の出目の和が で割って 余ればよい。和が 、、 となる出方はそれぞれ 、、 通りで、合計 通りである。したがって である。
一方、 かつ となるには、1回目の出目も2回目の出目も で割って 余ればよい。これは 通りなので である。しかし であり、 と等しくない。よって では独立でない。
次に を考える。1回の出目は法 で の各剰余を一様にとる。したがって が与えられても、2回目の出目の剰余を加えた は各値を確率 でとる。よって任意の について が成り立つ。したがって では独立である。
(2)
のとき、1回の出目の剰余は の各値を2通りずつとるので一様である。 の場合と同じ理由で、 は独立である。 のとき、 となるのは1回目の出目が のときだけなので である。また となるには2回の出目の和が 、、 のいずれかであり、出方は 通りである。よって である。一方、 となるには1回目も2回目も でなければならないので である。これは と等しくない。したがって では独立でない。 は (1) で独立でないことを示した。
最後に とする。このとき となるには1回目の出目が であるしかない。したがって が分かっているもとで となるには、2回目の出目が であればよいから である。
一方、 となる出方を数えると、2回の出目の和が または になる場合である。 では和 が 通り、和 が 通りで、合計 通りである。 ではこれ以下である。したがって である。よって となり、 では独立でない。
以上より、 が独立となる は である。