問題
2つの曲線とが1点を通り，において共通の接線をもっている．この2つの曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
共通接線をもつ点の 座標を とし、関数値と微分係数の一致から接点候補を求める。理系の設問では の符号条件がないため、 と の二通りを両方扱う。各場合で差の式が接点を重解にもつことを使い、囲まれる区間と上下関係を確認して面積を求める。
解答
接点 の 座標を とする。2曲線が を通り、そこで接線を共有するので が成り立つ。後式より だから である。また関数値の一致から である。
まず のとき である。このとき2曲線の差は である。囲まれる部分は にあり、この区間で差は 以上である。したがって面積は である。
次に のとき である。このとき である。交点の 座標は と で、 は接点に対応する重解である。区間 では だから、上の差は 以下である。よって面積は である。計算すると となる。
どちらの場合も面積は同じなので、求める面積は である。
別解。差の式を一般に見ると、接点 は重解である。差を とおくと、、 であり、もう一つの根を とすると、3次式の根の和から である。候補 に対し、いずれも となる。したがって平行移動して区間を長さ に直せば、面積は となり、同じ結果を得る。