問題
半径1，の同心円の間に半径の円が個，互いに交わらずに入っているという状態を考える． を固定した上で，を変化させる．
(1) はの範囲になければならないことを示せ．
(2) これら個の円の面積の総和が最小となるの値を求めよ．
出典：京都大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
半径 の各小円は、外側の半径 の円と内側の半径 の円の間にちょうど収まるので、中心は共通中心から距離 の円周上にある。 個の中心のうち隣り合う中心角が 以下の組を取り、中心間距離が少なくとも 必要であることから上限を出す。面積和は の2次式なので、頂点 が制約範囲内にあることを確認して最小値の位置を決める。
解答
(1)
半径 の円が半径 の円の内側に入り、同時に半径 の円の外側に入るには、その中心は共通中心から距離 の円周上になければならない。実際、外側の円に内接すると中心距離は であり、このとき内側の円との距離も となる。
この円周上に 個の中心を置く。中心角を一周分足すと なので、隣り合う中心の中に、中心角が 以下である組が少なくとも一つある。その2点間の距離は高々 である。
小円どうしが交わらないためには、どの2中心間距離も少なくとも でなければならない。したがって である。これを解くと を得る。
(2)
個の円の面積の総和を とする。半径は 、、そして が 個であるから である。整理すると であり、これは で最小となる2次式である。
あとはこの値が (1) の範囲に入ることを確認する。 であり、この範囲では が成り立つ。よって である。一方、 は と同値である。ここで とすれば、上の不等式により確かに成り立つ。
したがって2次式の頂点は許される範囲内にあり、面積の総和が最小となるのは のときである。