京都大学 1990年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

座標空間に3点 $P$ ， $Q$ ， $R$ があって毎秒1の速さで，それぞれ

点 $P$ は原点 $(0, 0, 0)$ を出発して $x$ 軸上を正の方向へ，

点 $Q$ は点 $(2, 0, 0)$ を出発して $y$ 軸と平行に正の方向へ，

点 $R$ は点 $(2, 2, 0)$ を出発して $z$ 軸と平行に正の方向へ

進む．このとき

(1) 三角形 $P QR$ は常に二等辺三角形であることを示せ．

(2) 三角形 $P QR$ の面積 $S$ が最小となるのは何秒後か．

出典：京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

出発後 $t$ 秒の三点を座標で表し、辺の長さを比較する。(2)では二辺ベクトルの外積に相当する成分計算で面積の二乗を求める。 $t$ と $2 - t$ の積 $p = t (2 - t)$ を用いると最小化が簡単になる。

$t$ 秒後の三点は

P = (t, 0, 0), Q = (2, t, 0), R = (2, 2, t)

である。したがって

P Q^{2} = (2 - t)^{2} + t^{2}, Q R^{2} = (2 - t)^{2} + t^{2} .

よって $P Q = QR$ であり、三角形 $P QR$ は常に二等辺三角形である。

$P Q = (2 - t, t, 0)$ 、 $P R = (2 - t, 2, t)$ とする。成分計算により、面積 $S$ は

4 S^{2} = t^{4} + t^{2} (2 - t)^{2} + (2 - t)^{4}

を満たす。 $p = t (2 - t)$ とおくと $t + (2 - t) = 2$ だから

4 S^{2} = 16 - 16 p + 3 p^{2} .

$t ≧ 0$ に対して $p = t (2 - t) ≦ 1$ であり、右辺は $p ≦ 1$ の範囲で $p$ が大きいほど小さい。 $p$ の最大値1は $t = 1$ で得られる。

したがって $S$ が最小となるのは

1 秒後

である。