京都大学 1990年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

$O$ を原点とし， $y = x^{3} - x$ のグラフを $C$ とする． $C$ 上の2点 $P$ ， $P^{'}$ は線分 $O P$ と $O P^{'}$ が直交するように $C$ 上を動き， $P$ は第1象限， $P^{'}$ は第2象限にある． $C$ と $O P$ で囲まれた部分の面積を $S$ ， $C$ と $O P^{'}$ で囲まれた部分の面積を $S^{'}$ とする． $\frac{S}{S ^{'}}$ の最小値を求めよ．

出典：京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

点 $P$ の $x$ 座標を $p > 1$ 、点 $P^{'}$ の $x$ 座標を $- q$ （ $0 < q < 1$ ）とする。原点から各点への直線の傾きの積が $- 1$ であることから $p, q$ の関係を作る。二つの面積はどちらも四乗に比例するので、最後は一変数の分数関数の最小化に帰着する。

解答

点 $P$ を $(p, p^{3} - p)$ （ $p > 1$ ）、点 $P^{'}$ を $(- q, q - q^{3})$ （ $0 < q < 1$ ）とおく。直線 $O P, O P^{'}$ の傾きはそれぞれ $p^{2} - 1, q^{2} - 1$ である。直交条件より

(p^{2} - 1) (q^{2} - 1) = - 1

となる。 $A = p^{2} - 1$ とおけば $A > 1$ であり、 $q^{2} = 1 - \frac{1}{A} = \frac{A - 1}{A}$ 、 $p^{2} = A + 1$ を得る。

直線 $O P$ は $y = (p^{2} - 1) x$ であるから

S = \int_{0}^{p} {(p^{2} - 1) x - (x^{3} - x)} d x = \int_{0}^{p} (p^{2} x - x^{3}) d x = \frac{p ^{4}}{4} .

同様に

S^{'} = \int_{- q}^{0} {(x^{3} - x) - (q^{2} - 1) x} d x = \frac{q ^{4}}{4} .

したがって

\frac{S}{S ^{'}} = (\frac{p ^{2}}{q ^{2}})^{2} = (\frac{A ( A + 1 )}{A - 1})^{2} .

$g (A) = \frac{A ( A + 1 )}{A - 1}$ とおくと

g^{'} (A) = \frac{A ^{2} - 2 A - 1}{( A - 1 ) ^{2}} .

$A > 1$ では $A = 1 + 2$ の前後で $g$ は減少から増加へ変わる。よって

g_{m i n} = 3 + 22

であり、求める最小値は

(3 + 22)^{2} = 17 + 122

である。

京都大学 1990年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

京都大学 1990年度
後期・文系数学後期第1問