京都大学 1990年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

15本のくじの中に当たりくじが2本ある． $A$ ， $B$ ， $C$ の3人が次のようにしてこのくじをひく．まず $A$ が5本まで順にひき， $k$ 本目 $(1 ≦ k ≦ 5)$ に当たりくじをひいたら，ひくのをやめて，残ったくじから $5 - k$ 本のはずれくじを取り除く．次に $B$ が残りの10本の中から5本まで順にひいて， $k$ 本目に当たったら，ひくのをやめて， $5 - k$ 本のはずれくじを取り除く． $C$ は残る5本の中に当たりくじがあれば当たりとなる． $A$ ， $B$ ， $C$ が当たりくじをひく確率 $P_{A}$ ， $P_{B}$ ， $P_{C}$ を求めよ．

出典：京都大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

方針

各人の番で最初の5本に当たりが含まれるかを考える。Aの結果により、Bの開始時に当たりが1本または2本残るので条件付き確率で分ける。Cについては、2本の当たりがAとBによってともに除かれる場合の余事象を取る。

解答

Aがはずれるのは、最初に選ばれる5本がすべてはずれのときである。したがって

P_{A} = 1 - \frac{_{13} C _{5}}{_{15} C _{5}} = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7} .

Aが当たったとき、残る10本には当たりが1本ある。このときBが5本以内に当たる確率は $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ である。Aがはずれたとき、残る10本には当たりが2本あるから、Bが当たる確率は

1 - \frac{_{8} C _{5}}{_{10} C _{5}} = \frac{7}{9} .

よって

P_{B} = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{13}{21} .

Cがはずれるのは、2本の当たりがAとBによって1本ずつ取り除かれた場合だけである。その確率は

\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{7} .

したがって

P_{C} = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7} .

以上より

(P_{A}, P_{B}, P_{C}) = (\frac{4}{7}, \frac{13}{21}, \frac{5}{7}) .

京都大学 1990年度後期・文系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

京都大学 1990年度
後期・文系数学後期第3問