問題
関数のグラフ上の点における接線がこのグラフと再び交わる点をとする．ただし，がこのグラフと共有する点が以外にないときはと定める．
(1) の座標をとして，の座標を求めよ．
(2) 点におけるこのグラフへの接線がと直交するようなは何個あるか．
方針
の 座標を とし、接線と三次曲線の共有点を方程式で求める。接点では重解になるため、 が を因数にもつことを利用して、もう1つの交点 を得る。直交条件は接線の傾きの積が であることなので、 での傾き と での傾き を掛ける。最後は とおき、2次方程式の非負解の個数から の個数へ戻す。
解答
(1)
とおく。 の 座標を とすると であり、 における接線 は である。ここで だから、曲線と接線の共有点の 座標は を満たす。
左辺を計算すると
である。したがって、接点 のほかに現れる交点の 座標は である。 のときはこの値も と一致し、問題の定義どおり である。
よって である。
(2)
の傾きは である。また、 の 座標は だから、 における接線の傾きは である。2本の接線が直交する条件は、傾きの積が であることなので である。 とおくと、これは すなわち となる。この2次方程式の判別式は である。
まず のとき、 に対して であるから解はない。次に のときは なので実数解はない。したがって では条件を満たす はない。 のときは で、重解は である。これは正であるから、 の2通りが得られる。 のときは である。また2つの解の和と積は であるから、2つの の解はいずれも正である。各正の に対して の2通りがあるので、 は合計4通りである。 は によって一意に決まる。したがって求める個数は
である。