問題
座標平面において，正方形を考える．
行列で表される一次変換によってがの部分集合にうつされるための必要十分条件は
であることを証明せよ．
出典：京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
一次変換で が に移るので、正方形 のすべての点について2つの成分の絶対値が 以下になる条件を調べればよい。十分性は三角不等式で直ちに出る。必要性では、 と をそれぞれ , の符号に合わせた頂点に取ることで、 の最大値が になることを示す。第2成分も同じ形で処理し、2条件を合わせて必要十分条件にする。
解答
行列で表される一次変換を と書く。正方形 は を満たす点全体である。したがって が の部分集合であることは、すべての に対して が成り立つことと同値である。
まず第1成分を考える。, ならば である。よって ならば、すべての で となる。
逆に、すべての で が成り立つとする。 のときは 、 のときは と取る。同様に、 のときは 、 のときは と取る。この点は に属し、 となる。したがって でなければならない。これで第1成分に関する必要十分条件は である。
同じ議論を第2成分 に適用すると、すべての で となるための必要十分条件は である。
以上より、 であるための必要十分条件は である。
別解。 の最大値は、4つの頂点 を調べればよい。実際、 は と の大きい方であり、それぞれの一次式は正方形の頂点で最大になる。4頂点での値から最大値は である。同様に の最大値は であるから、同じ条件が得られる。