問題
五つの実数があり，どのも他の四つの相加平均より大きくはないという．
このようなをすべて求めよ．
出典：京都大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
5個の和を とおくと、「他の4つの相加平均より大きくはない」は 、すなわち に直る。最大値 にこの不等式を適用して を得る一方、全ての項が 以下なので である。両側から等号が強制されるため、すべての項が最大値に等しい。最後に、全て等しい組が確かに条件を満たすことを確認する。
解答
5個の和を とおく。条件は、各 について である。両辺を4倍して整理すると となる。 の最大値を とする。最大値をとる項にも上の不等式を適用できるので である。一方、すべての は 以下だから である。したがって でなければならない。
ところが、各 であり、その和が に等しい。もしある が より小さければ和は より小さくなるので、すべての項が に等しい。すなわち である。
逆に、 であるとき、各 は他の4つの相加平均に等しい。したがって条件を満たす。
以上より、求めるものは を満たす5つの実数すべてである。
別解。 を について足すと、左辺も右辺も になる。各不等式の左辺と右辺の差 はすべて 以上で、その和が であるから、各差はすべて である。よって が全ての で成り立ち、やはり5つはすべて等しい。