京都大学 1989年度文系数学第3問解答・解説

問題

座標平面内で，つぎの3曲線(うち一つは直線)に囲まれる部分の面積を求めよ．

y = - x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 2, x = y + 3 - 1, y = 0

出典：京都大学 1989年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

$u = x + 1$ と平行移動すると、2曲線は $y = - u^{3} - 1$ と $y = u^{2} - 3$ になる。ただし平方根で与えられた曲線では $u ≧ 0$ に注意する。 $y = 0$ との交点、2曲線の交点を求めると、囲まれた領域は $- 1 ≦ u ≦ 1$ では上が $y = 0$ 、下が三次曲線、 $1 ≦ u ≦ 3$ では上が $y = 0$ 、下が放物線になる。最後は2つの定積分を足して面積を出す。

解答

$u = x + 1$ とおく。このとき $d x = d u$ であり、1つ目の曲線は $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 2 = - (x + 1)^{3} - 1 = - u^{3} - 1$ となる。また $x = y + 3 - 1$ は $u = y + 3$ であるから、 $u ≧ 0$ かつ $y = u^{2} - 3$ を表す。

まず交点を求める。三次曲線と $y = 0$ の交点は $- u^{3} - 1 = 0$ より $u = - 1$ である。放物線と $y = 0$ の交点は $u^{2} - 3 = 0, u ≧ 0$ より $u = 3$ である。

次に2曲線の交点は $- u^{3} - 1 = u^{2} - 3$ すなわち $u^{3} + u^{2} - 2 = 0$ を満たす。これは $u^{3} + u^{2} - 2 = (u - 1) (u^{2} + 2 u + 2)$ であり、 $u^{2} + 2 u + 2 = (u + 1)^{2} + 1 > 0$ だから、実数の交点は $u = 1$ だけである。

したがって囲まれる部分は、 $- 1 ≦ u ≦ 1$ では $y = 0$ と $y = - u^{3} - 1$ に挟まれ、 $1 ≦ u ≦ 3$ では $y = 0$ と $y = u^{2} - 3$ に挟まれる。よって面積 $S$ は $S = \int_{- 1}^{1} {0 - (- u^{3} - 1)} d u + \int_{1}^{3} {0 - (u^{2} - 3)} d u$ である。

第1項は $\int_{- 1}^{1} (u^{3} + 1) d u = [\frac{u ^{4}}{4} + u]_{- 1}^{1} = 2$ である。第2項は

\int_{1}^{3} (3 - u^{2}) d u = [3 u - \frac{u ^{3}}{3}]_{1}^{3} = 23 - \frac{8}{3}

である。したがって $S = 2 + 23 - \frac{8}{3} = 23 - \frac{2}{3}$ である。

別解。横に切って面積を求めることもできる。 $- 2 ≦ y ≦ 0$ で、左端は $y = - u^{3} - 1$ から $x = - 3 y + 1 - 1$ であり、右端は $x = y + 3 - 1$ である。したがって幅は $y + 3 + 3 y + 1$ であり、面積は $\int_{- 2}^{0} (y + 3 + 3 y + 1) d y$ である。ここで $3 y + 1$ の積分は $y = - 1$ を中心に打ち消し合うので $0$ となり、残りは

\int_{- 2}^{0} y + 3 d y = [\frac{2}{3} (y + 3)^{3/2}]_{- 2}^{0} = 23 - \frac{2}{3}

である。

京都大学 1989年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

京都大学 1989年度
文系数学第3問