問題
つぼの中に個の赤球と，個の白球が入っている．との2人が，交互に球を1個ずつとり出し，先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする．ただし，とり出した球は，もとにもどさないものとする．
(1) ちょうど回目(すなわち，2人のとり出した球の合計が，ちょうど個になった時)に勝者がきまる確率をとするとき， となることを示せ．
(2) このゲームをからはじめるとする．任意の，に対して，が勝者となる確率は，またはそれ以上であることを示せ．
出典：京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
勝者が 回目に決まるとは、最初の 回がすべて白球で、 回目に赤球が出ることである。具体式そのものを長く扱うより、隣り合う確率の比 を計算して単調性を示す。後半は、 が奇数回目、 が偶数回目に勝つことを使い、 と組にして比較する。
解答
(1)
回目に初めて赤球が出るには、最初の 回が白球で、 回目が赤球であればよい。したがって の範囲で が正になり、それ以降は である。 である範囲では、 から に進むとき、さらに1個白球を先に取り出し、その後に赤球を取り出す形になる。直接比を計算すると である。ここで だから であり、 となる。よって である。 となった後も両辺は なので、不等式は保たれる。
(2)
が勝つのは、最初の赤球が 回目に出るときである。したがって の勝つ確率は である。一方、 の勝つ確率は である。
(1)より が成り立つ。したがって、奇数番目の和は偶数番目の和以上であり、 を得る。
赤球は少なくとも1個あるので、いずれ必ず勝者が決まる。したがって両辺の和は である。ゆえに であり、 が勝者となる確率は 以上である。