問題
定数 に対して，等式がすべてのについて成り立つとき，関数は周期関数であるといい，またこの等式を満たすような正の数のうちの最小値を，の周期という．次の関数は周期関数であることを示し，またその周期を求めよ．
(1)
(2)
出典：京都大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
どちらも の値だけで決まるので、まず が周期であることを示す。最小性は、任意の正の周期 を仮定して を代入し、、すなわち が の整数倍であることまで絞る。最後に奇数倍の が周期でないことを で確認する。
解答
(1)
であるから、 となり、 は周期である。
次に最小性を調べる。正の数 が周期であると仮定する。 を代入すると である。関数 は に対して同じ値を二度取らないので である。したがって となる整数 が存在する。
ここで が奇数なら、 を代入して となるから であり、周期ではない。偶数倍の は周期であるので、正の最小周期は である。
(2)
同じく より である。よって は周期である。
正の数 が周期であるとする。 を代入すると を得る。ここで であり、この範囲で となるのは だけである。したがって となり、 と表せる。
しかし が奇数なら であり、 だから周期ではない。したがって正の周期は に限られ、最小周期は である。