京都大学 1984年度文系数学第3問解答・解説

問題

実数 $t$ の値によって定まる点 $P (t + 1, t)$ と $Q (t - 1, - t)$ がある．
$t$ が区間 $[0, 1] = {t ∣0 ≦ t ≦ 1}$ を動くとき，線分 $P Q$ が通過する範囲の面積を求めよ．

出典：京都大学 1984年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

線分 $P Q$ 上の点は、直線 $y = t (x - t)$ の上にあり、さらに $∣ x - t ∣ ≦ 1$ を満たす。固定した $x$ に対して許される $t$ の範囲を $[0, 1] \cap [x - 1, x + 1]$ として求め、二次式 $t (x - t)$ の最大値と最小値を区間ごとに決める。最後に縦の長さを積分する。

解答

点 $P (t + 1, t)$ と $Q (t - 1, - t)$ の中点は $(t, 0)$ であり、線分 $P Q$ を含む直線の傾きは $\frac{t - ( - t )}{( t + 1 ) - ( t - 1 )} = t$ である。したがって、その直線は $y = t (x - t)$ と表せる。

ただし今回は直線全体ではなく線分であるから、点 $(x, y)$ が線分 $P Q$ 上にある条件は $y = t (x - t), ∣ x - t ∣ ≦ 1, 0 ≦ t ≦ 1$ である。よって固定した $x$ に対し、許される $t$ の範囲は $0 ≦ t ≦ 1, x - 1 ≦ t ≦ x + 1$ を同時に満たす部分である。これより通過範囲の $x$ 座標は $- 1 ≦ x ≦ 2$ に限られる。 $- 1 ≦ x ≦ 0$ では $0 ≦ t ≦ x + 1$ である。この範囲では $x ≦ 0$ なので $y = t (x - t)$ は $t$ が増えるほど小さくなる。したがって上端は $t = 0$ の $y = 0$ であり、下端は $t = x + 1$ の $y = (x + 1) {x - (x + 1)} = - x - 1$ である。縦の長さは $x + 1$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $0 ≦ t ≦ 1$ である。二次式 $t (x - t)$ は $t = x /2$ で最大になり、 $y = \frac{x ^{2}}{4}$ である。最小値は端点で比べればよく、 $t = 0$ で $0$ 、 $t = 1$ で $x - 1$ だから、下端は $y = x - 1$ である。 $1 ≦ x ≦ 2$ では $x - 1 ≦ t ≦ 1$ である。この範囲にも $t = x /2$ が含まれるので、上端は $y = \frac{x ^{2}}{4}$ である。両端では $t = x - 1, 1$ のどちらでも $y = x - 1$ となるから、下端は $y = x - 1$ である。

したがって求める面積は

\int_{- 1}^{0} (x + 1) d x + \int_{0}^{1} (\frac{x ^{2}}{4} - x + 1) d x + \int_{1}^{2} (\frac{x ^{2}}{4} - x + 1) d x

である。それぞれ $\int_{- 1}^{0} (x + 1) d x = \frac{1}{2},$ $\int_{0}^{1} (\frac{x ^{2}}{4} - x + 1) d x = \frac{7}{12},$ $\int_{1}^{2} (\frac{x ^{2}}{4} - x + 1) d x = \frac{1}{12}$ であるから、面積は $\frac{1}{2} + \frac{7}{12} + \frac{1}{12} = \frac{7}{6}$ である。

京都大学 1984年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

京都大学 1984年度
文系数学第3問