京都大学 1984年度
文系数学 第4問

解答

まず $g^{\prime }(x)=x+1$ より $g(x)=\frac{x^2}{2}+x+C$ とおける。条件 $f(x)=g(x{)}^2+a$ と $f(-1)=f(1)=0$ から $g(-1{)}^2+a=0,g(1{)}^2+a=0$ である。したがって $g(-1{)}^2=g(1{)}^2$ が必要である。

ここで $g(-1)=C-\frac{1}{2},g(1)=C+\frac{3}{2}$ だから ${\left(C-\frac{1}{2}\right)}^2={\left(C+\frac{3}{2}\right)}^2$ となる。これを解いて $C=-\frac{1}{2}$ を得る。よって $g(x)=\frac{x^2}{2}+x-\frac{1}{2}=\frac{(x+1{)}^2}{2}-1$ である。また $g(-1)=-1$ なので、$f(-1)=0$ より $a=-1$ となり、$f(x)=g(x{)}^2-1$ である。

交点は $f(x)=g(x)+k$ を満たす点であるから、$g(x{)}^2-1=g(x)+k$ すなわち $g(x{)}^2-g(x)-(k+1)=0$ である。ここで $z=g(x)$ とおくと、二次方程式 $z^2-z-(k+1)=0$ を考えればよい。

一方、$g(x)=\frac{(x+1{)}^2}{2}-1$ なので、$g(x)$ の値域は $z\geqq -1$ である。さらに $z=-1$ に対しては $x=-1$ の1個、$z>-1$ に対しては $\frac{(x+1{)}^2}{2}=z+1$ から $x$ が2個得られる。

二次方程式 $z^2-z-(k+1)=0$ の判別式は $D=1+4(k+1)=4k+5$ である。 $k<-5/4$ のときは $D<0$ で、実数の $z$ がないので交点は $0$ 個である。 $k=-5/4$ のときは重解 $z=\frac{1}{2}$ をもち、これは $-1$ より大きいので、対応する $x$ は2個である。 $-5/4<k<1$ のとき、2つの根はともに $-1$ より大きい。実際、下側の根 $\frac{1-\sqrt{4k+5}}{2}$ が $-1$ より大きいことは $k<1$ と同値である。したがって各根から $x$ が2個ずつ出て、交点は4個である。 $k=1$ のとき、根は $z=-1,z=2$ である。$z=-1$ から $x$ は1個、$z=2$ から $x$ は2個出るので、交点は3個である。 $k>1$ のとき、下側の根は $-1$ より小さく不適であり、上側の根だけが $-1$ より大きい。したがって交点は2個である。

以上より、交点の個数は

である。