問題
関数について，次の問に答えよ．
(1) のとき，であることを示せ．
(2) が最大および最小となるの値をそれぞれ求めよ．
出典：京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
積分区間の両端が と で動くので、まず微分して を得る。絶対値の外れ方が変わる で区間を分け、 では を直接示す。全体の最大・最小は 、、 の増減をつなげて決める。
解答
(1)
である。積分区間の両端が によって動くので、微分すると である。 では だから したがって ここで かつ である。よって である。
したがって は区間 で増加する。ゆえに が成り立つ。
(2)
区間を分けて の符号を調べる。
のとき
このとき 、 であるから 整理すると したがって では で の符号が正から負に変わる。よってこの点で極大になる。
のとき
このとき 、 であるから 整理すると したがって では で の符号が負から正に変わる。よってこの点で極小になる。
のとき
(1)で示したように であり、この区間では増加する。
さらに、 および のとき、積分区間の長さは1のままで被積分関数 は一様に0へ近づくので、 である。
以上をつなげると、 は で最小となり、 で最大となる。
したがって、最大となる は であり、最小となる は である。
別解の視点
の値を直接積分して式を作ることもできるが、絶対値のため場合分けが重くなる。本問では、動く積分区間の微分公式で を出し、符号だけを調べる方が短い。