京都大学 1982年度
理系数学 第1問

解答

(1)

点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とする。$P$ は原点と異なる曲線上の点なので $p\ne 0$ である。曲線は $y=x^3+ax$ であり、導関数は $y^{\prime }=3x^2+a.$ したがって点 $P(p,p^3+ap)$ における接線の傾きは $3p^2+a$ である。接線の方程式は $y=(3p^2+a)(x-p)+p^3+ap$ であり、整理して $y=(3p^2+a)x-2p^3$ となる。

曲線との交点の $x$ 座標は $x^3+ax=(3p^2+a)x-2p^3$ を満たす。整理すると $x^3-3p^{2}x+2p^3=0.$ これは $(x-p{)}^2(x+2p)=0$ と因数分解できる。したがって接点 $P$ に対応する $x=p$ のほかに、$x=-2p$ の交点がある。$p\ne 0$ より $-2p\ne p$ であるから、接線は $P$ と異なる点 $Q$ で曲線と交わる。

(2)

接線の $y$ 座標から曲線の $y$ 座標を引くと $(3p^2+a)x-2p^3-(x^3+ax)=-x^3+3p^{2}x-2p^3$ である。これは $-(x-p{)}^2(x+2p)$ である。

まず $p>0$ として計算する。このとき $Q$ の $x$ 座標は $-2p$ で、囲まれる範囲は $-2p\leqq x\leqq p$ である。この区間では $(x-p{)}^2(x+2p)\geqq 0$ だから、曲線は接線より上にある。 $y$ 軸の左側、すなわち $Q$ を含む側の面積は ${\int }_{-2p}^0(x-p{)}^2(x+2p)dx.$ $x=pu$ とおくと、この面積は $p^4{\int }_{-2}^0(u-1{)}^2(u+2)du$ である。 $(u-1{)}^2(u+2)=u^3-3u+2$ なので ${\int }_{-2}^0(u^3-3u+2)du=6.$ したがって左側の面積は $6p^4.$ 右側、すなわち $P$ を含む側の面積は ${\int }_0^p(x-p{)}^2(x+2p)dx=p^4{\int }_0^1(u^3-3u+2)du.$ ここで ${\int }_0^1(u^3-3u+2)du=\frac{3}{4}$ だから、右側の面積は $\frac{3}{4}{p}^4.$ よって比は $6p^4:\frac{3}{4}{p}^4=8:1.$ $p<0$ のときは左右が入れ替わるだけである。したがって $Q\text{を含む側}:P\text{を含む側}=8:1$ である。

別解の視点

計算の途中で $a$ が消えるため、面積比は曲線 $y=x^3+ax$ の $a$ に依存しない。接線と曲線の差が $-(x-p{)}^2(x+2p)$ になることを確認できれば、あとは標準的な積分計算である。