問題
次の性質をもつ実数は，どのような範囲にあるか．二次方程式は実根，をもち，とするとき，不等式，，で定まる領域は，三角形になる．
出典：京都大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
まず二次方程式が実根をもつ条件を判別式で出す。次に 、 が作る右向きの角を考え、第三の直線 がこの角の二辺を正の位置で切り、かつ遠方を切り落とす条件を調べる。この図形条件は 、 になるので、実根条件と の正値条件を合わせる。
解答
二次方程式 が実根をもつ条件は、判別式が0以上であることなので すなわち であり、 したがって である。
次に、領域の形を調べる。 で定まる領域は、原点を頂点とする右向きの角である。第三の不等式は すなわち である。
上側の辺 上の点を とおく。この点に第三の不等式を代入すると である。下側の辺 上の点を とおくと である。
第三の直線がこの二つの辺を正の位置で切り、三角形を作るには が必要十分である。すなわち である。
根を とすると、小さい方の根は である。以下、実根条件の二つの場合で を調べる。
の場合
となるには、まず でなければならない。このもとで は と同値である。両辺は正なので2乗してよく、 を得る。これは すなわち である。したがって を得る。
の場合
このとき であり、 だから である。よって は常に成り立つ。さらに図形条件 と合わせて である。
以上より、求める の範囲は である。
別解の視点
図形条件を先に見ると、第三の直線は右向きの角を横切って有限な三角形を切り出す必要がある。二つの辺 、 上で不等式を一次式として見れば、切片が正で傾きが負になる条件として 、 が自然に出る。