京都大学 1982年度理系数学第3問解答・解説

問題

平面上に四辺形 $A B C D$ があって，どの頂点も，残りの頂点の作る三角形の外部にある． $△ B C D$ の重心を $A_{1}$ ， $△ C D A$ の重心を $B_{1}$ ， $△ D A B$ の重心を $C_{1}$ ， $△ A B C$ の重心を $D_{1}$ として，四辺形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ を作る．これを1回目とし，同様の手続きをくり返して， $n$ 回目にえられる四辺形を $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ とする．
このとき，次のことを示せ．

(1) 線分 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ は1点 $P$ を共有する．

(2) 点 $A_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ は1直線上にある．

(3) $A_{n}$ と $P$ の距離 $\overline{A_{n} P}$ について， $n \to \infty lim \overline{A_{n} P} = 0$ である．

出典：京都大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

四点の平均点 $P$ を基準にする。1回の操作で、各新頂点は「他の三点の平均」になるため、 $P$ から見たベクトルは元の対応するベクトルの $- \frac{1}{3}$ 倍になる。これを示せば、(1)の共点性、(2)の $A_{n}$ の直線性、(3)の距離が等比的に0へ近づくことがまとめて分かる。

解答

(1)

元の点 $A, B, C, D$ の位置ベクトルを $a, b, c, d$ とする。また $p = \frac{a + b + c + d}{4}$ とおき、この点を $P$ とする。

三角形 $B C D$ の重心 $A_{1}$ の位置ベクトルは $a_{1} = \frac{b + c + d}{3}$ である。したがって

a_{1} - p = \frac{b + c + d - 3 a}{12} = \frac{1}{3} (p - a) .

よって $A, P, A_{1}$ は一直線上にある。同様に $B, P, B_{1}, C, P, C_{1}, D, P, D_{1}$ もそれぞれ一直線上にある。したがって4本の線分は1点 $P$ を共有する。

(2)

まず、1回の操作後も四点の平均は変わらないことを確認する。実際、 $a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1}$ は

\frac{( b + c + d ) + ( c + d + a ) + ( d + a + b ) + ( a + b + c )}{3}

であり、これは $a + b + c + d$ に等しい。したがって平均点 $P$ は、操作をくり返しても変わらない。

元の四辺形を $A_{0} B_{0} C_{0} D_{0}$ と書くことにする。上と同じ計算を各段階に適用すると $a_{n + 1} - p = - \frac{1}{3} (a_{n} - p)$ が成り立つ。したがって $a_{n} - p = (- \frac{1}{3})^{n} (a_{0} - p)$ である。

これは、すべての点 $A_{n}$ が、点 $A_{0}$ と $P$ を結ぶ直線上にあることを表している。よって $A_{n}$ は1直線上にある。

(3)

(2)より $\overline{A_{n} P} = (\frac{1}{3})^{n} \overline{A_{0} P} .$ したがって

n \to \infty lim \overline{A_{n} P} = n \to \infty lim (\frac{1}{3})^{n} \overline{A_{0} P} = 0.

別解の視点

各回の図形を個別に追うより、平均点 $P$ から見たベクトルが毎回 $- \frac{1}{3}$ 倍されることを一度示す方が速い。符号が負なので $A_{n}$ は $P$ の両側を交互に移るが、長さは毎回 $\frac{1}{3}$ 倍になる。

京都大学 1982年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

別解の視点

京都大学 1982年度
理系数学第3問