熊本大学 2021年度理系数学第4問（理工系2）解答・解説

問題

次の問いに答えよ．(問1)　 $0 ≦ x ≦ π$ のとき， $sin x = sin 2 x$ の解を求めよ．(問2)　 $\int_{0}^{2 π} ∣ sin x - sin 2 x ∣ d x$ を求めよ．(問3)　 $n$ を正の整数とするとき，定積分 $\int_{0}^{2 π} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x$ を求めよ．(問4)　 $c$ を正の数とするとき， $lim_{n \to \infty} \int_{0}^{c} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x$ を求めよ．

出典：熊本大学 2021年度前期理系第4問

方針

$sin x - sin 2 x = sin x (1 - 2 cos x)$ の符号変化を調べて一周期分の絶対値積分を求める。以後は $u = n x$ と周期平均で処理する。

解答

(問1)

$sin x = sin 2 x$ は $sin x (1 - 2 cos x) = 0$ と同値。 $0 ≦ x ≦ π$ より

x = 0, \frac{π}{3}, π .

(問2)

$h (x) = sin x - sin 2 x$ の零点は $0, \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}, 2 π$ 。 $F (x) = - cos x + \frac{1}{2} cos 2 x$ とすると，符号に注意して

\int_{0}^{2 π} ∣ h (x) ∣ d x = 5.

(問3)

$u = n x$ とおくと，周期性より

\int_{0}^{2 π} ∣ sin n x - sin 2 n x ∣ d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{2 nπ} ∣ sin u - sin 2 u ∣ d u = 5.

(問4)

$h (u) = ∣ sin u - sin 2 u ∣$ とし， $n c = 2 π q_{n} + r_{n}$ ， $0 ≦ r_{n} < 2 π$ とおく。

\int_{0}^{c} h (n x) d x = \frac{5 q _{n}}{n} + \frac{1}{n} \int_{0}^{r_{n}} h (u) d u .

第2項は0に近づき， $q_{n} / n \to c / (2 π)$ 。よって極限は

\frac{5 c}{2 π} .

熊本大学 2021年度理系数学 第4問（理工系2）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

(問4)

熊本大学 2021年度
理系数学第4問（理工系2）